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Le cadenas des énigmes.***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
23-03-05 à 20:12

J'enferme les questions des énigmes que je concocte dans un coffre fermé par un cadenas à combinaison de 5 chiffres.
J'ai oublié la combinaison du cadenas, mais je me rappelle qu'elle ne commence, ni ne finit par un 0.
De plus, je sais que si on supprime un des chiffres de la combinaison, le nombre obtenu est égal à 1/9 du nombre de la combinaison initiale.
Si par la suite, on supprime un des chiffres de ce deuxième nombre, on obtient 1/81 du code initial.

Pouvez-vous m'indiquer la combinaison qui me permettra d'ouvrir le cadenas.

S'il y a plusieurs possibilités, indiquez-les toutes.
-----

Bonne chance à tous.

Posté par
Nofutur2
re : Le cadenas des énigmes.*** 23-03-05 à 21:58

gagnéIl y a 4 possibilités pour ouvrir le coffre :

10 1251 125125
30 3753 375375
50 6255 625625
70 8757 875875

Posté par
manpower
re : Le cadenas des énigmes.*** 23-03-05 à 22:05

gagnéAu vu des réponses obtenues, on peut certainement trouver les 4 solutions par un bon raisonnement. Ce qu'assurément J-P confirmera !

J'ai (encore) été fainéant (par faute de temps). J'ai donc concocté une petite feuille excel et j'ai fini le tri des 17 solutions obtenues à la main.
En fait, la combinaison à 5 chiffres est divisible par 81 et multiple d'un nombre à 3 chiffres (ce qui reste après en avoir enlevé deux).
Ce qui restreint déjà l'étude à 876 cas (du type \rm x\times 81\rm 124 \le x \le 999).
Ensuite, on examine (via excel pour moi) ces cas (chiffres égaux) via les deux conditions de l'énoncé pour obtenir un premier tri de 17 solutions. Parmi ces 17 solutions, seules 7 conviennent (sans doublons de chiffres). On peut remarquer qu'elles sont équiréparties puisque régulièrement espacées de 125 (pour les valeurs de \rm x).
Enfin, il ne faut pas oublier d'écarter encore les solutions se terminant par 0 (exclus par l'énoncé). Il reste ainsi 4 solutions, espacées cette fois de 250.

Conclusion:
Il y a exactement 4$ \rm \red 4 solutions : 10125 - 30375 - 50625 - 70875
( ou encore 81\times125 - 3\times81\times125 - 5\times81\times125 - 7\times81\times125 )

A nous les questions des énigmes de J-P !!! Miam !

Posté par bncjo (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 23-03-05 à 22:46

bonjour tout le monde
alors j'ai trouvé 4 possibilité, sans trop de conviction, qui sont:
10125-30375-50625-70875

Posté par
franz
re : Le cadenas des énigmes.*** 23-03-05 à 23:54

gagnéIl existe 4 solutions

\Large \array{c150|c150|c150$\rm{Cadenas=n}&\frac n 9 & \frac n {81} \\ \hline\vspace 5\\ 10125 & 1125 & 125 \\ \vspace 5\\ 30375 & 3375 & 375 \\ \vspace 5\\ 50625 & 5625 & 625 \\ \vspace 5\\ 70875 & 7875 & 875}

Posté par Severus (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 23-03-05 à 23:57

Hello tous,

J'ai trouvé 4 possibilités pour la combinaison. A savoir:

10125
30375
50625
70875

A+

Severus

Posté par pietro (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 00:09

Il y a 4 combinaisons
C'est le 2e chiffre de la combinaison (un zéro) qui est chaque fois enlevé pour trouver les solutions.
Le cadenas des énigmes.Le cadenas des énigmes.Le cadenas des énigmes.Le cadenas des énigmes.

Posté par
isisstruiss
re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 00:25

gagnéJ'ai trouvé 4 codes possibles. Les voici:
10125, 30375, 50625, 70875.

Isis

Posté par shintao (invité)re : Le cadenas des énigmes 24-03-05 à 01:49

gagnéIl existe quatre combinaisons permettant d'ouvrir le cadenas :
10125
30375
50625
70875

Posté par raulic (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 09:00

gagnéSi on supprime un des chiffres de la combinaison, le nombre obtenu est égal à 1/9 du nombre de la combinaison initiale : je suppose qu'il s'agit d'un chiffre particulier et pas de n'importe quel des 5 chiffres composant le code sinon je ne trouve pas de solution.

Si par la suite, on supprime un des chiffres de ce deuxième nombre, on obtient 1/81 du code initial : je suppose qu'il s'agit d'un chiffre particulier et pas de n'importe quel des 5 chiffres composant le code sinon je ne trouve pas de solution.

Je trouve donc le nombre :

70875    70875/9=7875    70875/81=875
50625    50625/9=5625    50625/81=625
30375    30375/9=3375    30375/81=375
10125    10125/9=1125    10125/81=125

Je trouve donc 4 codes possibles

Matthieu






Posté par Razibuszouzou (invité)L énigme du cadenas 24-03-05 à 11:21

gagnéLa solution est un nombre N qui s'écrit ABCDE (A, B, C, D et E sont des chiffres entre 0 et 9).
On pose N/9 = M , qui s'écrit avec 4 chiffres parmi ABCDE dans l'ordre.
et N/81 = M/9 = L , qui s'écrit avec 3 chiffres parmi les 4 de M, dans l'ordre.

On peut faire deux remarques préliminaires :

1°) comme N et M sont divisibles par 9, alors la somme de leurs chiffres est divisible par 9 (vieille règle de la preuve par 9). Le chiffre que l'on a ôté de ABCDE pour former M est donc forcément un 0 ou un 9.

2°) E = 5, et il est conservé dans l'écriture de M

En effet :
-Soit E est conservé dans l'écriture de M. Il se trouve alors en dernière position. Comme N = 9*M,  le dernier chiffre de 9*E doit être égal à E (dernier chiffre de N), ce qui n'est possible qu'avec E = 5 ou E = 0 (mais on peut éliminer cette dernière solution d'après l'énoncé). Donc, si E est conservé, il est égal à 5.

-Soit E n'est pas conservé dans l'écriture de M, qui s'écrit alors ABCD. Cela est impossible car on aurait alors :
N = 10000 A + 1000 B + 100 C + 10 D + E = 9*M = 9000 A + 900 B + 90 C + 9 D
Et donc 1000 A + 100 B + 10 C + D + E = 0 ce qui entraine N = 0


En définitive, nous savons que  E = 5, et que le chiffre à enlever de N pour former M est un 0 ou un 9. Nous savons déjà que A n'est pas nul, il ne nous reste donc que 7 cas à examiner, selon la position du chiffre à ôter de N pour former M :
D = 0, C = 0, B = 0, D = 9, C = 9, B = 9, A = 9

Nous allons étudier ici les 3 premiers cas,  le raisonnement serait similaire pour les 4 derniers.

-Si D = 0, N s'écrit ABC05 et M s'écrit ABC5. Comme N = 9*M, nous avons :
10000 A + 1000 B + 100 C + 5 = 9000 A + 900 B + 90 C + 45
Et donc 1000 A + 100 B + 10 C = 40   impossible avec A non nul.

-Si C = 0, alors N s'écrit AB0D5, et M ABD5. Transcrivons l'égalité N = 9*M :
10000 A + 1000 B + 10 D + 5 = 9000 A + 900 B + 90 D + 45
Et donc 1000 A + 100 B = 80 D + 40     impossible si A non nul.

-Si B = 0, alors N s'écrit A0CD5 et M ACD5. Transcrivons l'égalité N = 9*M :
10000 A + 100 C + 10 D + 5 = 9000 A + 900 C + 90 D + 45
Et donc  1000 A = 800 C + 80 D + 40 = 8 ( 100 C + 10 D + 5)
125 A = 100 C + 10 D + 5 ce qui revient à déterminer 125*A tel qu'il s'écrive CD5
Il y a 4 valeurs de A possibles :
A = 1, qui donne C = 1 et D = 2
A = 3, qui donne C = 3 et D = 7
A = 5, qui donne C = 6 et D = 2
A = 7, qui donne C = 8 et D = 7

-Je passe sur l'étude des autres cas, avec A, B C ou D égaux à 9, car ils aboutissent tous à des impossibilités d'échelle, de la même manière que les cas D = 0 et C = 0.

En conclusion, il n'y a que 4 solutions, toutes obtenues avec B = 0 :

N = 10125, qui donne M = 1125 et L = 125
N = 30375, qui donne M = 3375 et L = 375
N = 50625, qui donne M = 5625 et L = 625
N = 70875, qui donne M = 7875 et L = 875

Posté par PaChaMath (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 12:24

gagnéSoit N=104 * a + 10 3 * b + 100 * c + 10 * d + e le nombre cherché.

Soit N1 le nombre après suppression d'un chiffre et N2 après suppression d'un deuxième chiffre.

1. Puisque N=81*N2 et que N2<1000, a8.

D'autre part part, N et N1 sont divisibles par 9 donc la somme de leurs chiffres aussi, d'où le 1er chiffre enlevé est 0 ou 9.

Puisque a et e ne peuvent être nuls, ce ne peut être a  et si c'est e, e=9. Dans ce dernier cas, en comparant N et 9N1, successivement modulo 10, puis 100, puis 1000, puis 10000, on trouve que d=1, puis c=9, puis b=9, puis a=9 d'où une imposibilité.

Donc le 1er chiffre enlevé est 0 ou 9 et c'est b, c ou d.

2. Supposons b enlevé,
N = 1000(10 a + b) + 100 c + 10 d + e
   = 9N1 = 9000 a + 900 c + 90 d + 9 e

Par différence, 1000 (a + b) = 8(100 c + 10 d + e)

Si b=9, le 1er membre est supérieur à 10000 et le second inférieur à 8000. Contradiction donc b=0. Alors 125 a = 100 c + 10 d + e. Puisque e 0, a est impair.

D'où les solutions
a= 1, c=1, d= 2, e=5
a= 3, c=3, d= 7, e=5
a= 5, c=6, d= 2, e=5
a= 7, c=8, d= 7, e=5

Ce qui donne les nombres N = 10125, 30375, 50625, 70875
et N1 = 1125, 3375, 5625, 7875.

On vérifie aisément que les nombres N2, obtenus par suppression du 1er chiffre de N1, vérifient la condition cherchée. Donc les 4 valeurs précédentes de N conviennent.

3. Y en a-t'il d'autres en supprimant c ou d ? Je n'en ai pas trouvé. Je vais poursuivre ma recherche mais d'abord poster cet envoi pour ne pas perdre ces résultats.

Posté par G0000D (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 12:31

perduSalut à tous et à toutes..
C'est donc une combinaison dont il s'agit ..
Premièrement on note qu'on a le même nombre quel que soit le chiffre supprimé, j'en conclus donc que les 5 chiffres de la combinaison sont identiques; et puisque l'un d'entre eux et different de 0 et bien...
Les possibilités sont: 11111/9
                             22222/9
                             33333/9
                             44444/9
                             55555/9
                             66666/9
                             77777/9
                             88888/9
                             99999/9 est bien-entendu composé de 5 chiffres
J'ai bien peur - monsieur le correcteur - que nulle combinaison ne soit possible, à moins que vos cominaisons ne contiennent des réel ou des compliqués .. (chose non prise en considération là d'où je viens)

Posté par PaChaMath (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 12:35

gagnéSuite...

La suite est, en fait, immédiate. Il n'y a pas d'autre solution que celles indiquées dans le message précédent.

En effet, si c est supprimé,
N = 10000 a + 1000 b + 100 c + 10 d + e = 9N1 = 9(1000 a + 100 b + 10 d + e)

entraîne 1000 a + 100 b + 100 c = 8(10 d + e). Or le 1er membre est supérieur à 1000 (car a > 0) et le second inférieur à 800.

Même argument pour la suppression de d.

Posté par Choun (invité)Reponse 24-03-05 à 12:59

gagnéIl y a 4 solutions :
10125, 30375, 50625 ou 70875.

10125/9 = 1125 et 10125/81 = 125
30375/9 = 3375 et 30375/81 = 375
50625/9 = 5625 et 50625/81 = 625
70875/9 = 7875 et 70875/81 = 875

Posté par kyrandia (invité)RE 24-03-05 à 14:41

gagnéBonjour,

voici les codes possibles :

10125
30375
50625
70875

Problème résolu sans se prendre la tête par programmation

Posté par
bigufo
re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 16:02

gagnébonjour, joli enigme J-P
j'ai trouvé ces quatre combinaisons:
10125 ; 30375 ; 50625 ; 70875.
j'espère que c'est tout ce qu'il y a. enfin j'ai trouvé plusieurs mais qui finissent avec un 0

Posté par philoux (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 17:14

gagnéBonjour,

Réponses : 4 combinaisons : 10125 – 30375 – 50625 - 70875
Fait étonnant, à chaque fois, il faudra supprimer le chiffre des milliers !
est-ce démontrable ?

Méthode :
Soit abcde le nombre initial, avec a et e non nuls.
Construisons les nombres tronqués à 4 puis 3 chiffres : il y a 10 nombres différents pour la combinaison à 3 chiffres, chaque nombre pouvant correspondre à 2 antécédants (x9), soit 20 cas identiques par permutation circulaire :

°/o 9      °/o 81
.bcde      ..cde   cas 1
             .b.de   cas 2
             .bc.e   cas 3
             .bcd.   cas 4
a.cde      ..cde   cas 5
             a..de   cas 6
             a.c.e   cas 7
             a.cd.   cas 8
ab.de      .b.de   cas 9
             a..de   cas 10
             ab..e   cas 11
             ab.d.   cas 12
abc.e      .bc.e   cas 13
             a.c.e   cas 14
             ab..e   cas 15
             abc..   cas 16
abcd.      .bcd.   cas 17
             a.cd.   cas 18
             ab.d.   cas 19
             abc..   cas 20
cas 1 :
9(cde)=bcde => 900c+90d+9.e=1000b+100c+10d+e   [A]
Il faut donc que le chiffre des unités de 9e, noté (9e), soit égal à e.
Construisons la table des (9x+y) pour x et y [0,9] en image jointe.
Constatons que si y est impaire, (9x+y)=x n’a pas de solution.
(9.e)=e => y=0 => e=0 ou 5 comme e<>0, e=5
Reportons dans [A] 9(cd5)=bcd5 et tenons compte de la retenue 4 :
(9d+4)=d => d=2 ou 7
Prenons le cas d=2
Reportons dans [A] 9(c25)=bc25 : retenue 2 : (9c+2)=c => c=1 ou 6 .
Prenons le cas c=1
Reportons dans [A] 9(125)=1125 : d’où N=9*1125=10125
Prenons le cas c=6
Reportons dans [A] 9(625)=5625 : d’où N=9*5625=50625
Prenons le cas d=7
Reportons dans [A] 9(c75)=bc75 : retenue 6 : (9c+6)=c => c=3 ou 8 .
Prenons le cas c=3
Reportons dans [A] 9(375)=3375 : d’où N=9*3375=30375
Prenons le cas c=8
Reportons dans [A] 9(875)=7875 : d’où N=9*7875=70875

cas 2 :
9(bde)=bcde => 900b+90d+9.e=1000b+100c+10d+e   [A]
e=5 et d=2 ou 7
Prenons le cas d=2
Reportons dans [A] 9(b25)=bc25 => 9(100b+25)=1000b+100c+25=> b+c=2
On a aussi (9b+2)=c ; les seuls cas possibles avec y=2 sont :
b        0     1     2
c        2     1     0
b25    025   125   225
bc25  0225  1125  2025
x 9  02025 10125 18225
On retient 10125 déjà trouvé au premier cas.
Prenons le cas d=7
Reportons dans [A] 9(b75)=bc75 => 9(100b+75)=1000b+100c+75=> b+c=6
On a aussi (9b+6)=c ; les seuls cas possibles avec y=6 sont :
b        0     1     2     3     4     5     6
c        6     5     4     3     2     1     0
b75    075   175   275   375   475   575   675
bc75  0675  1575  2475  3375  4275  5175  6075
x 9  06075 14175 22275 30375 38475 46575 54675
On retient 30375 déjà trouvé au premier cas.

cas 3 :
9(bce)=bcde => 900b+90c+9.e=1000b+100c+10d+e => 10b+c+d=4 => b=0
or b=0 =>9*bcde=9*0cde<10000 impossible

cas 4 :
9(bcd)=bcde => 900b+90c+9.d=1000b+100c+10d+e => b=c=d=e=0 impossible

cas 5: cas 1 où a,b,c,d,e est remplacé par b,a,c,d,e
cas 6: cas 2 où a,b,c,d,e est remplacé par b,a,c,d,e
cas 7 : cas 3 où a,b,c,d,e est remplacé par b,a,c,d,e
cas 8 : cas 4 où a,b,c,d,e est remplacé par b,a,c,d,e
cas 9 : cas 1 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,a,d,e
cas 10 : cas 2 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,a,d,e
cas 11 : cas 3 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,a,d,e
cas 12 : cas 4 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,a,d,e
cas 13 : cas 1 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,a,e
cas 14 : cas 2 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,a,e
cas 15 : cas 3 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,a,e
cas 16 : cas 4 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,a,e
cas 17 : cas 1 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,e,a
cas 18 : cas 2 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,e,a
cas 19 : cas 3 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,e,a
cas 20 : cas 4 où a,b,c,d,e est remplacé par b,c,d,e,a

En espérant ne pas en avoir oublié !

Merci pour l'énigme,

Philoux

Nota : les programmeurs vont se régaler et les fonctions sur les chaînes de caractères vont chauffer...

Le cadenas des énigmes.

Posté par
borneo
re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 20:47

gagnéMoi, je ne sais pas programmer, je calcule sur excel... donc il me faut des heures là où certains mettent 10 minutes.
Même en prenant les multiples de 81, ça fait encore du monde.

mes solutions :
10125
30375
50625
70875

S'il en manque, je vais vraiment être furax

Posté par
paulo
re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 21:12

gagnébonsoir,

il y a 4 reponses:


ce sont :10125 ; 30375 ; 50625 ; 70875


il suffit de touver la premiere combinaison en partant des nombresa 3 chiffre/



125\times1\times 9\times 9 = 10125
125\times2\times 9\times 9 = 20250
125\times3\times 9\times 9 = 30375  


on continue en multipliant par 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

on elimine les solutions qui sont multiplies par un nombre pair puisqu'elles donnent un 0 a la fin et la solution par 9 donne un resultat a 5 chiffres au lieu de 3.

voila j'espere que je vais conserver ma 13° place

c'est difficil de ratrapper le retard

a plus tard et merci

Paulo


Posté par PMP1 (invité)réponse à l énigme 24-03-05 à 21:49

gagnéje pense qu'il y a 4 solutions possibles :
10125
30375
50625
70875

il y a peut-être d'autres solutions mais je ne pense pas.
j'ai surtout la flème d'en trouver d'autres.
j'espère que j'ai bon.

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 24-03-05 à 22:27

gagnéJ'ai trouvé 4 solutions :

10125 = 1125 * 9 = 125 * 81
30375 = 3375 * 9 = 375 * 81
50625 = 5625 * 9 = 625 * 81
70875 = 7875 * 9 = 875 * 81

J'espere qu'il n'y en pas pas d'autres

Posté par MarioBoss (invité)Eureka ! 24-03-05 à 22:57

perdu14175

Posté par lefuturgenie (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 25-03-05 à 01:13

perdu
Il y a deux solutions:10125 et 30375
justifions

soienta,b,c,respectivement le chiffre des unités , des dizaines , des centaines.
on sait que : 9*cba=?cba=1/9cba
donc ce que nous remarquons c'est que les chiffres des unités , des dizaines , des centaines restent invariables dans tous les nombres obtenus
Alors par un simple tatonnement on a pu aboutir aux résultats suivants: a=5, b=2, c=1 (car ces reels restent invariables dans les nombres comme chiffre des unités , dizaines , centaines)
d'ou:formons le nombre recherché
125*81=10125
                  ou encore
a=5, b=7,c=3
le nombre est:375*81=30375

conclusion:la combinaison qui vous permettra d'ouvrir le cadenas est 10125 ou 30375
ouf enfin

Posté par PolytechMars (invité)L essentiel est de partciper.Merci Monsieur de Coubertin..Miaouw 25-03-05 à 15:20

perduBonjour,
si on note a b c d e le nombre de cinq chiffres. En utilisant l'expression 10000a+1000b+100c+10d+e, on trouve que le nombre de quatres chiffres est obligatoirement a c d e.
Et on obtient l'equation : 1000(a+b)=800c+80d+8e qui nous donne e=5 !
De meme, on trouve que le nombre de trois chiffres est c d e .
On trouve alors trois solutions qui sont les nombres :
50625
30375
70875


Bonnes mathématiques...

Miaouw..L essentiel est de partciper.Merci Monsieur de Coubertin..Miaouw

Posté par
doc_78
re : Le cadenas des énigmes.*** 25-03-05 à 16:14

gagnéJe propose :10125 (10125=1125x9 et1125=125x9)
ou encore 30375 (30375=3375x9 et 3375=375x9)
ou encore 50625 (50625=5625x9 et 5625=625x9)
ou enfin 70875 (70875=7875x9 et 7875=875x9)
Donc 4 possibilités qui ne débutent ni ne finissent par 0...

Posté par code_519 (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 26-03-05 à 12:44

je pense que [sup][/sup]

Posté par EmGiPy (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 26-03-05 à 13:43

gagnéHey hey voici ma reponse il y a en tout \red{6} réponses possibles

** image externe supprimée **

++ EmGiPy ++

Posté par EmGiPy (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 26-03-05 à 14:02

gagnéOua nan désolé mon programme est allé plus vite que moi il n'y a pas 6 possibilités mais 4 j'espere que vous l'aurez remarqué sur ma photo jointe et que vous ne prendrez pas en compte mon erreur....

dslé ++

Posté par jacko78 (invité)re : Le cadenas des énigmes.*** 27-03-05 à 13:52

perduJe pense qu'il n'y a que trois possiblités qui sont : 30375, 50625, et 70875.
A bientot

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cadenas des énigmes.*** 28-03-05 à 09:37

Enigme clôturée.

Il y avait 4 solutions possibles.

Le problème était accessible sans programmation. (Voir les quelques solutions détaillées qui ont été données).

A bientôt pour de futures énigmes.



Posté par
lyonnais
re : Le cadenas des énigmes.*** 28-03-05 à 10:05

bonjour à tous :

n'étant pas sûr d'avoir toutes les réponses, je n'ai pas participé à cette énigme ... et je crois que j'ai bien fait !

En effet, je n'ai trouvé que 3 solutions sur les 4 ( comme jacko78 ) :

-> 30375
-> 50625
-> 70875

Merci quand même pour l'énigme.

@+

Posté par PolytechMars (invité)L essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw 03-04-05 à 15:47

perdubeh tu ,'ai pas le seul, moi egalement je n'ai trouvé que trpios réponses et vu que je n'ai plus mes brouillons, j'aurais bien coprendre la feinte!!
MAis bon ce n'est pas grave, une de perdue dix de retrouvé...

Bonnes mathématiques..
MAiouw

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 21:38:15.
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