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Niveau 3 *
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Le cancre.***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
02-08-05 à 19:10

Mon petit cousin est un vrai cancre.
Lorsqu'il doit effectuer le produit de 2 nombres de 2 chiffres, il procède comme suit:

Il choisit au hasard un chiffre de chaque facteur, il en fait le produit et il juxtapose à ce produit celui des 2 chiffres restants.

C'est ainsi que s'il doit calculer le produit de 38 par 27 il trouvera soit 2116, soit 566, soit 656 ou bien encore 1621.
----
Mais aujourd'hui, à mon grand étonnement, il a trouvé le bon résultat.

Ce résultat est un nombre à 4 chiffres ne comportant pas de zéro.

Pouvez-vous retrouvez ce résultat ?
---
Si plusieurs solutions existent, indiquez-les toutes.
----------
Bonne chance à tous

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Le cancre.*** 02-08-05 à 21:06

gagnéDeux solutions :
    4$\color{red}25\times57
et
    4$\color{blue}57\times25
( Ces deux produits sont égaux à 1425 )

Posté par cocot (invité)Cancre, las! 02-08-05 à 21:45

gagnéOn n'a trouvé qu'une solution...

25*57=1425

Par contre la démonstration est bien ardue... pas le courage de taper maintenant!

Posté par
lyonnais
re : Le cancre.*** 03-08-05 à 00:22

gagnésalut j-P et bonjour à tous :

Après plusieurs heures de réflexion et de nombreux essais, je trouve une seule et unique possibilité :

Tu lui a demandé de résoudre 25 x 57 . En temps normal, ce produit vaut 1425 et lui, grâce à sa méthode , il pouvait répondre soit 1425 , soit 1035 , soit 2514 , soit 3510.

Il a donc saisi la chance sur 4 que tu lui avais proposée

Ma réponse est donc : 1425

PS : j'ai peur, j'aime pas la dernière phrase : " Si plusieurs solutions existent, indiquez-les toutes "

merci beaucoup pour l'énigme !

++ sur l'

Posté par
piepalm
re : Le cancre.*** 03-08-05 à 09:15

gagnéSi les deux nombres sont 10a+b et 10c+d leur produit exact est 100ac+10(ad+bc)+bd.
La méthode du cancre permet d'obtenir les valeurs
100ac+bd , 100bd+ac , 100ad+bc et 100bc+ad
Il ne peut avoir obtenu le produit exact avec la première valeur, car il faudrait alors que 10(ad+bc)=0, ce qui est impossible si les deux nombres ne sont pas nuls.
Pour obtenir le produit exact avec la seconde valeur il faudrait que
100ac+10(ad+bc)+bd=100bd+ac soit 10(ad+bc)=99(bd-ac). 10 et 99 sont premiers entre eux et de plus ad+bc<162; on doit donc avoir ad+bc=99 et bd-ac=10.
L'un au moins des nombres ad ou bc est supérieur ou égal à 50; en se remémorant les tables de multiplication, on voit qu'il vaudra 54, 56, 63, 64, 72 ou 81. 56 donne un complément à 99 de 43 qui n'est pas admissible; pour les autres,
99=6*9+5*9=7*9+4*9=8*8+5*7=8*9+3*9=9*9+2*9 et il est facile de vérifier que l'on n'a dans aucun cas bd-ac=10
Enfin, pour obtenir le produit exact avec la troisième ou la quatrième valeur, qui sont équivalentes si l'on permute les deux nombres, il faut que
100ac+10(ad+bc)+bd=100ad+bc donc 10a(9d-10c)=b(9c+d)
Si b=5, e=9d-10c doit diviser 9c+d donc 9(9c+d)=91c+e donc e divise 91; e=7 ne donne pas de solution et e=13 donne la solution c=5 d=7 donc a=2; 25*57=1425.
Sinon, 9c+d est divisible par 5, donc c et d sont congrus modulo 5, avec la contrainte 9d>10c, on vérifie aisément qu'il n'y a pas de solution.
La seule solution est donc 25*57=1425 (à la permutation des deux nombres près)

Posté par Severus (invité)re : Le cancre.*** 03-08-05 à 09:42

Hello,

Les 2 nombres à multiplier sont 25 et 57 avec le résultat 1425 et c'est le seul résultat possible.

2*7=14 et 5*5=25.

* image externe expirée *
Severus

Posté par
la_brintouille
re : Le cancre.*** 03-08-05 à 10:03

gagnéBonjour,
je propose une seule solution: 57 et 25 (57*25=1425)

Posté par
cinnamon
re : Le cancre.*** 03-08-05 à 12:43

perduSalut,
la seule solution est 10$\red 4256.

En effet 56 \times 76 = 42. On prend le chiffre des unités du premier facteur qu'on multiplie par le chiffre des dizaines du second facteur et on obtient 42. Puis on juxtapose les deux chiffres restants, à savoir 5 et 6 et on obtient 4256 !


à+


Posté par papou_28 (invité)Le cancre.*** 03-08-05 à 14:37

gagnévoici le petit programme fait en python qui teste chacune des valeurs de a et b variant de 10 à 99
ça fait donc 90² = 8100 possibilités.

def dizaine(nombre) :
      return int(nombre/10)

def unite(nombre) :
      return nombre - dizaine(nombre) * 10


def produit1(x,y) :
     if dizaine(x) * unite(y) <10 :
      return  dizaine(x) * unite(y) + unite(x)* dizaine(y)*10
     else :  return dizaine(x) * unite(y) + unite(x)* dizaine(y)*100


def produit2(x,y) :
     if dizaine(x) * dizaine(y) <10 :
            return  dizaine(x) * dizaine(y) + unite(x)* unite(y)*10
     else :  return dizaine(x) * unite(y) + dizaine(y)*unite(x)*100


def produit3(x,y) :
     if unite(x) * dizaine(y) <10 :
              return  unite(x) * dizaine(y) + unite(y)*dizaine(x)*10
     else :  return  unite(x) * dizaine(y) + unite(y)*dizaine(x)*100
    

def produit4(x,y) :
     if unite(x) * unite(y) < 10 :
              return unite(x) * unite(y) + dizaine(x)*dizaine(y)*10
     else :  return unite(x) * unite(y) + dizaine(x)*dizaine(y)*100

      
a = 10
b= 10

while (a<100) :
b=10
while (b<100) :
                
                 p1 = produit1(a,b)
                 p2= produit2(a,b)
                 p3= produit3(a,b)
                 p4 = produit4(a,b)

                 if p1 == a*b :
               print "les nombres" , a ,"   ",b,  "conviennent pour le produit 1"

                 if p2 == a*b :
               print "les nombres" , a ,"   ",b,  "conviennent pour le produit 2"

                 if p3 == a*b :
                print "les nombres" , a ,"   ",b,  "conviennent pour le produit 3"

                 if p4 == a*b :
                print "les nombres" , a ,"   ",b,  "conviennent pour le produit 4"
                 b= b+1
         a=a+1

pour le produit du cancre il y a 4 produit possibles dans le programme produit1, produit2, produit3, produit4

Le programme affiche les couples de nombres suivants :25 et 57 pour les produits 1 et 3
ce couple est unique puisque mon programme teste toutes les possibilités.

Vérifions :
25 x 57 = 1425

produit1 :  57 et 25
2 x 7 = 14 et 5 x 5 = 25
produit1(25,57) = 1425

produit3 : 25 et 57
2 x 7 = 14 et 5 x 5 = 25

produit3(57,25) = 1425

Remarque : mon programme fait en python peut être simplifié au niveau de l'algorithme en utilisant certaines équivalence : - Les deux nombres x et y fonctionnent pour le produit 1 <==> les deux nombres y et x fonctionnent pour le produit 3.
                        - En utilisant cette équivalence au lieu d'avoir 90² possibilités cela fait 90*(90-1)/2 = 4005 possibilités

Bilan : les deux nombres sont 25 et 57 et ce couple est unique !

Posté par
_Estelle_
re : Le cancre.*** 03-08-05 à 17:57

perdu
Bonjour,
le résultat peut etre 121 ; 242 ; 363 ; 484 ; 605 ; 726 ; 847 ; 968 ; 1210 ; 1452 ; 1694 ; 1815 ; 1936 ; 2178 ; 2420 ; 2541 ; 3267 ; 3388 ; 3872 ; 4235 ; 4356 ;
5445 ; 5929 ; 6534 ; 6776 ; 7623 ; 7744 ou 8712.
Merci pour l énigme

Posté par
alfred15
re : Le cancre.*** 03-08-05 à 18:31

gagnéBonjour !

Là je crois que ça valait bien les 3 étoiles !
Voici le raisonnement que j'ai quand même suivi

Soient 2 nombres à 2 chiffres de la forme "ab" et "cd"

"ab" = 10*a + b
"cd" = 10*c + d

"ab" * "cd" = (10*a + b) * (10*c + d)

De plus, les formes possibles du nombre à 4 chiffres répondant aux contraintes données par l'énoncé de l'exercice sont :

(1) 100*(a*c) + b*d
(2) 100*(a*d) + b*c
(3) 100*(b*d) + a*c
(4) 100*(b*c) + a*d

On remarque que pour passer de (2) à (4), on échange a par c et b par d (autrement dit, on change l'ordre de multiplication "ab"*"cd" en "cd"*"ab") ce qui n'est d'aucun intéret. Donc : on oublie (4)

En développant (1) :

(10*a + b)*(10*c + d) = 100*(a*c) + b*d
100*(a*c) + 10*(a*d + b*c) + b*d = 100*(a*c) + b*d
10*(a*d + b*c) = 0

a,b,c,d étant des entiers positifs (compris entre 1 et 9), cette équation n'a pas de solution !

Restent (2) et (3)

L'équation (3) ne donne pas de solutions !

L'équation (2) quant à elle donne une solution :
a = 2
b = 5
c = 5
d = 7


La réponse à l'énigme est donc 25*57 = 1425    (avec 2*7 = 14 et 5*5 = 25)


Remarque : (4) aurait donné
a = 5
b = 7
c = 2
d = 5
conduisant ainsi à la réponse équivalente 57*25 = 1425


Posté par pietro (invité)re : Le cancre.*** 03-08-05 à 20:47

Bonjour, je ne vois qu'une solution :

Posté par Ender (invité)re : Le cancre.*** 04-08-05 à 15:43

121 (11*11)
484 (22*22)

Posté par
paulo
re : Le cancre.*** 04-08-05 à 18:38

gagnébonjour,

le nombre est :

1425 = 25 * 57

il y a peut etre d'autres solutions mais le temps manque  et la phrase a decrypter pas evidente du tout.

a plus tard

PAULO

Posté par
cinnamon
re : Le cancre.*** 04-08-05 à 20:07

perduZut ! j'ai oublié une solution : 6365 !
Ca m'apprendra à poster trop vite !
Vive le !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:Le cancre. 05-08-05 à 01:23

gagnéNotations:
pour (a,b)\in(\{0,1,..,9\}\)^2 notons:
\bar{ab}=10a+b
soit \bar{ab} et \bar{cd} les 2 nombres de départ
leur vrai produit est donc:
4$\blue\bar{ab}\times\bar{cd}=(10a+b)(10c+d)=100ac+10ad+10bc+bd
(comme le résultat est un nombre à 4 chiffres sans zéros on est sur que abcd\neq0)
voyons maintenant ce qu'il en est de leur (cancre-produit)que je noterai * vu que le résultat est un nombre à 4 chiffres les 4 produits ac,ad,bc et bd sont \ge10 et il y a 4 possibilités:
4$\blue\bar{ab}*\bar{cd}=ou\{{100ac+bd\\100bd+ac\\100bc+ad\\100ad+bc
la 1ére est impossible vu que abcd\neq0
la seconde aussi puisque: 10(ad+bc)=99(bd-ac)
et vu que 10 et 99 sont premiers entre eux on a donc l'existence d'un entier k tel que:
\{{ad+bc=99k\\bd-ac=10k
et comme:ad+bc\le 9.9+9.9=162 on a que k=1 ce qui n'est pas possible vu que:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(bd-ac)^2=9901 qui est un nombre premier.
la 3éme donne:4$\blue100ac+9ad-90bc+bd=0
on voit alors que: et\{{b>a\\10/d(b-a)
2 cas à discuter:
\{{d=5\\b-a=2k,1\le k\le4 ou \{{b-a=5\\d=2k,1\le k\le4
1ér cas:
a=k\frac{18c-1}{c+5},k=1,2,3,4
pour k=1 on trouve c=2,a=5,b=7 et on a bien:
4$\red57\times25=57*25=1425
et c'est l'unique solution dans ce cas.
2éme cas:
a=\frac{45c-k}{c+2k},k=1,2,3,4
aucune solution dans ce cas.
la 4éme donne:4$\blue100ac+9bc-90ad+bd=0
on voit que c'est exactement le 3éme cas avec(a,b,c,d)\to(c,a,d,b) d'où la mm solution:
25\times57=25*57=1425
Conclusion:
le probléme admet une solution unique:
4$\red1425
Voilà,j'espére que c'est bien ça

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cancre.*** 06-08-05 à 08:54

Enigme clôturée.


Posté par cocot (invité)Pour ceux qui veulent apprendre le Perl... 06-08-05 à 15:32

gagnéLangage sympa pour écrire des programmes simples

Ici, on aurait utilisé:

$S=0;
for $a (1..9){
  for $b (1..9){
    for $c (1..9){
      for $d (1..9){
        $S=(10*$a+$b)*(10*$c+$d);
        if ((100*$a*$d + $b*$c)==$S) {
          printf ("ab cd vaut $a$b $c$d\n");
        }
      }
    }
  }
}

Posté par
cinnamon
re : Le cancre.*** 06-08-05 à 19:58

perduJe viens de me rendre compte que j'avais mal lu l'énoncé !
J'ai juxtaposé les deux chiffress restants au lieu de leur produit.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cancre.*** 06-08-05 à 20:43

Petite distraction cinnamon


Posté par
borneo
re : Le cancre.*** 10-08-05 à 00:40

Chef, chef, les deux premiers de cette énigme disent qu'ils sont en 6e et en 5e... Connaissant le niveau actuel des élèves (pour être enseignante en primaire...) j'ai un sérieux doute
Ou alors, c'est une blague.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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