Mon petit cousin est un vrai cancre.
Lorsqu'il doit effectuer le produit de 2 nombres de 2 chiffres, il procède comme suit:
Il choisit au hasard un chiffre de chaque facteur, il en fait le produit et il juxtapose à ce produit celui des 2 chiffres restants.
C'est ainsi que s'il doit calculer le produit de 38 par 27 il trouvera soit 2116, soit 566, soit 656 ou bien encore 1621.
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Mais aujourd'hui, à mon grand étonnement, il a trouvé le bon résultat.
Ce résultat est un nombre à 4 chiffres ne comportant pas de zéro.
Pouvez-vous retrouvez ce résultat ?
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Si plusieurs solutions existent, indiquez-les toutes.
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Bonne chance à tous
On n'a trouvé qu'une solution...
25*57=1425
Par contre la démonstration est bien ardue... pas le courage de taper maintenant!
salut j-P et bonjour à tous :
Après plusieurs heures de réflexion et de nombreux essais, je trouve une seule et unique possibilité :
Tu lui a demandé de résoudre 25 x 57 . En temps normal, ce produit vaut 1425 et lui, grâce à sa méthode , il pouvait répondre soit 1425 , soit 1035 , soit 2514 , soit 3510.
Il a donc saisi la chance sur 4 que tu lui avais proposée
Ma réponse est donc : 1425
PS : j'ai peur, j'aime pas la dernière phrase : " Si plusieurs solutions existent, indiquez-les toutes "
merci beaucoup pour l'énigme !
++ sur l'
Si les deux nombres sont 10a+b et 10c+d leur produit exact est 100ac+10(ad+bc)+bd.
La méthode du cancre permet d'obtenir les valeurs
100ac+bd , 100bd+ac , 100ad+bc et 100bc+ad
Il ne peut avoir obtenu le produit exact avec la première valeur, car il faudrait alors que 10(ad+bc)=0, ce qui est impossible si les deux nombres ne sont pas nuls.
Pour obtenir le produit exact avec la seconde valeur il faudrait que
100ac+10(ad+bc)+bd=100bd+ac soit 10(ad+bc)=99(bd-ac). 10 et 99 sont premiers entre eux et de plus ad+bc<162; on doit donc avoir ad+bc=99 et bd-ac=10.
L'un au moins des nombres ad ou bc est supérieur ou égal à 50; en se remémorant les tables de multiplication, on voit qu'il vaudra 54, 56, 63, 64, 72 ou 81. 56 donne un complément à 99 de 43 qui n'est pas admissible; pour les autres,
99=6*9+5*9=7*9+4*9=8*8+5*7=8*9+3*9=9*9+2*9 et il est facile de vérifier que l'on n'a dans aucun cas bd-ac=10
Enfin, pour obtenir le produit exact avec la troisième ou la quatrième valeur, qui sont équivalentes si l'on permute les deux nombres, il faut que
100ac+10(ad+bc)+bd=100ad+bc donc 10a(9d-10c)=b(9c+d)
Si b=5, e=9d-10c doit diviser 9c+d donc 9(9c+d)=91c+e donc e divise 91; e=7 ne donne pas de solution et e=13 donne la solution c=5 d=7 donc a=2; 25*57=1425.
Sinon, 9c+d est divisible par 5, donc c et d sont congrus modulo 5, avec la contrainte 9d>10c, on vérifie aisément qu'il n'y a pas de solution.
La seule solution est donc 25*57=1425 (à la permutation des deux nombres près)
Hello,
Les 2 nombres à multiplier sont 25 et 57 avec le résultat 1425 et c'est le seul résultat possible.
2*7=14 et 5*5=25.
* image externe expirée *
Severus
Salut,
la seule solution est .
En effet . On prend le chiffre des unités du premier facteur qu'on multiplie par le chiffre des dizaines du second facteur et on obtient 42. Puis on juxtapose les deux chiffres restants, à savoir 5 et 6 et on obtient 4256 !
à+
voici le petit programme fait en python qui teste chacune des valeurs de a et b variant de 10 à 99
ça fait donc 90² = 8100 possibilités.
def dizaine(nombre) :
return int(nombre/10)
def unite(nombre) :
return nombre - dizaine(nombre) * 10
def produit1(x,y) :
if dizaine(x) * unite(y) <10 :
return dizaine(x) * unite(y) + unite(x)* dizaine(y)*10
else : return dizaine(x) * unite(y) + unite(x)* dizaine(y)*100
def produit2(x,y) :
if dizaine(x) * dizaine(y) <10 :
return dizaine(x) * dizaine(y) + unite(x)* unite(y)*10
else : return dizaine(x) * unite(y) + dizaine(y)*unite(x)*100
def produit3(x,y) :
if unite(x) * dizaine(y) <10 :
return unite(x) * dizaine(y) + unite(y)*dizaine(x)*10
else : return unite(x) * dizaine(y) + unite(y)*dizaine(x)*100
def produit4(x,y) :
if unite(x) * unite(y) < 10 :
return unite(x) * unite(y) + dizaine(x)*dizaine(y)*10
else : return unite(x) * unite(y) + dizaine(x)*dizaine(y)*100
a = 10
b= 10
while (a<100) :
b=10
while (b<100) :
p1 = produit1(a,b)
p2= produit2(a,b)
p3= produit3(a,b)
p4 = produit4(a,b)
if p1 == a*b :
print "les nombres" , a ," ",b, "conviennent pour le produit 1"
if p2 == a*b :
print "les nombres" , a ," ",b, "conviennent pour le produit 2"
if p3 == a*b :
print "les nombres" , a ," ",b, "conviennent pour le produit 3"
if p4 == a*b :
print "les nombres" , a ," ",b, "conviennent pour le produit 4"
b= b+1
a=a+1
pour le produit du cancre il y a 4 produit possibles dans le programme produit1, produit2, produit3, produit4
Le programme affiche les couples de nombres suivants :25 et 57 pour les produits 1 et 3
ce couple est unique puisque mon programme teste toutes les possibilités.
Vérifions :
25 x 57 = 1425
produit1 : 57 et 25
2 x 7 = 14 et 5 x 5 = 25
produit1(25,57) = 1425
produit3 : 25 et 57
2 x 7 = 14 et 5 x 5 = 25
produit3(57,25) = 1425
Remarque : mon programme fait en python peut être simplifié au niveau de l'algorithme en utilisant certaines équivalence : - Les deux nombres x et y fonctionnent pour le produit 1 <==> les deux nombres y et x fonctionnent pour le produit 3.
- En utilisant cette équivalence au lieu d'avoir 90² possibilités cela fait 90*(90-1)/2 = 4005 possibilités
Bilan : les deux nombres sont 25 et 57 et ce couple est unique !
Bonjour,
le résultat peut etre 121 ; 242 ; 363 ; 484 ; 605 ; 726 ; 847 ; 968 ; 1210 ; 1452 ; 1694 ; 1815 ; 1936 ; 2178 ; 2420 ; 2541 ; 3267 ; 3388 ; 3872 ; 4235 ; 4356 ;
5445 ; 5929 ; 6534 ; 6776 ; 7623 ; 7744 ou 8712.
Merci pour l énigme
Bonjour !
Là je crois que ça valait bien les 3 étoiles !
Voici le raisonnement que j'ai quand même suivi
Soient 2 nombres à 2 chiffres de la forme "ab" et "cd"
"ab" = 10*a + b
"cd" = 10*c + d
"ab" * "cd" = (10*a + b) * (10*c + d)
De plus, les formes possibles du nombre à 4 chiffres répondant aux contraintes données par l'énoncé de l'exercice sont :
(1) 100*(a*c) + b*d
(2) 100*(a*d) + b*c
(3) 100*(b*d) + a*c
(4) 100*(b*c) + a*d
On remarque que pour passer de (2) à (4), on échange a par c et b par d (autrement dit, on change l'ordre de multiplication "ab"*"cd" en "cd"*"ab") ce qui n'est d'aucun intéret. Donc : on oublie (4)
En développant (1) :
(10*a + b)*(10*c + d) = 100*(a*c) + b*d
100*(a*c) + 10*(a*d + b*c) + b*d = 100*(a*c) + b*d
10*(a*d + b*c) = 0
a,b,c,d étant des entiers positifs (compris entre 1 et 9), cette équation n'a pas de solution !
Restent (2) et (3)
L'équation (3) ne donne pas de solutions !
L'équation (2) quant à elle donne une solution :
a = 2
b = 5
c = 5
d = 7
La réponse à l'énigme est donc 25*57 = 1425 (avec 2*7 = 14 et 5*5 = 25)
Remarque : (4) aurait donné
a = 5
b = 7
c = 2
d = 5
conduisant ainsi à la réponse équivalente 57*25 = 1425
bonjour,
le nombre est :
1425 = 25 * 57
il y a peut etre d'autres solutions mais le temps manque et la phrase a decrypter pas evidente du tout.
a plus tard
PAULO
Notations:
pour notons:
soit et les 2 nombres de départ
leur vrai produit est donc:
(comme le résultat est un nombre à 4 chiffres sans zéros on est sur que )
voyons maintenant ce qu'il en est de leur (cancre-produit)que je noterai * vu que le résultat est un nombre à 4 chiffres les 4 produits et sont et il y a 4 possibilités:
la 1ére est impossible vu que
la seconde aussi puisque:
et vu que et sont premiers entre eux on a donc l'existence d'un entier tel que:
et comme: on a que ce qui n'est pas possible vu que:
qui est un nombre premier.
la 3éme donne:
on voit alors que:
2 cas à discuter:
ou
1ér cas:
pour on trouve et on a bien:
et c'est l'unique solution dans ce cas.
2éme cas:
aucune solution dans ce cas.
la 4éme donne:
on voit que c'est exactement le 3éme cas avec d'où la mm solution:
Conclusion:
le probléme admet une solution unique:
Voilà,j'espére que c'est bien ça
Langage sympa pour écrire des programmes simples
Ici, on aurait utilisé:
$S=0;
for $a (1..9){
for $b (1..9){
for $c (1..9){
for $d (1..9){
$S=(10*$a+$b)*(10*$c+$d);
if ((100*$a*$d + $b*$c)==$S) {
printf ("ab cd vaut $a$b $c$d\n");
}
}
}
}
}
Je viens de me rendre compte que j'avais mal lu l'énoncé !
J'ai juxtaposé les deux chiffress restants au lieu de leur produit.
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