Niveau Lycéen curieux

Le cardinal d'un ensemble.

Posté par
kaitokid 04-11-21 à 22:27

Bonsoir tout le monde..
Je viens de commencer la leçon du dénombrement et je me suis bloqué dans un question... je ne sais que faire..
La question cite :
Soit A et B deux ensembles finis et on pose Card B=n . Soit f une application surjectives de A sur B telle que pour tout bB : Card f^-1({b})=m.
Montrer que Card A=mn.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Le cardinal d'un ensemble. 04-11-21 à 23:21

Bonsoir,

L'idée est de montrer que l'ensemble des n ensembles f^-1{(b)} constitue une partition de A dont tous les éléments ont le même cardinal m.
A peut donc être vu comme la réunion de m sous-ensembles de n éléments chacun, donc au total mn éléments.

Maintenant, pour montrer que l'ensemble en question est bien une partition tu dois démontrer deux propriétés :

1 - Montre que, pour tout a A, b B tel que a f^-1{(b)}
(l'ensemble des f^-1{(b)} recouvre A)

1 - Montre que, pour b1 b2, f^-1{(b1)} f^-1{(b2)} =
(les f^-1{(b)} sont disjoints 2 à 2)

Et tu auras fini.

Posté par re : Le cardinal d'un ensemble. 05-11-21 à 13:41

salut

une reformulation de ce que dit LeHibou

card B = n donc écrivons $B = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$ et posons $A_k = f^{-1} (b_k)$   pour tout k entre 1 et n

montrer que :

1/ $\forall k  :  A_k \ne \O$

2/ $\forall j \ne k  :  A_j \cap A_k = \O$

3/ $\cup_{k = 1}^n A_k = A$

conclure ...