Bonsoir

[blank]Il suffit de jeter le dé sur le parquet : le dé aura forcément une position et une orientation. Le problème est que si l'orientation sera distribuée uniformément, la position du dé suivra elle une loi gaussienne, ou du moins quelque chose qui y ressemble. Alors que le procédé de l'aiguille admet que la position de l'aiguille est uniformément distribuée sur le parquet, si je ne m'abuse.

Pour contrer ce biais, on peut prendre un parquet plus serré et lancer le dé un peu plus fort

Zut je sais pas blank

La simulation est possible avec un parquet régulier et un dé équilibré , il y a une astuce à trouver .

Imod

Effectivement

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il suffit de viser le centre du parquet et considérer l'angle de la position du dé mar rapport à l'horizontale : on a une variable uniforme qu'on peut alors mapper de façon linéaire sur la largeur duparquet

On n'est pas obligé de jeter le dé sur le parquet ( ni même de blanker ses réponses ) . Il s'agit simplement de simuler le résultat du lancer de l'aiguille avec un dé

Imod

Le problème ne déchaîne pas les foules

Quand je l'ai découvert pour la première fois ( sous une forme un peu différente ) je n'y croyais pas non plus .

Je donne un premier indice . La probabilité à atteindre est soit un peu moins de deux chances sur six  . On peut donc estimer que trois des valeurs proposées par le dé ne donnent pas de contact avec deux lames et que l'une d'entre elles donne un contact , il reste au plus deux valeurs douteuses qui nécessitent  un nouveau lancer . Je n'en dis pas plus même si le problème nous semblerait bien plus naturel si le dé avait dix faces .

Bonnes fêtes à tous

Imod

Bonsoir  
On peut bien sûr simuler une version discrète de l'expérience, en tirant au dé l'orientation de l'aiguille et la distance du milieu de l'aiguille à la plus proche rainure du parquet.
Sinon on peut simuler une épreuve de Bernoulli de paramètre p donne avec un de, en développant p en base 6. O
Ce que tu as en tête n'est pas clair pour moi, imod.

Petite question : on simule une épreuve de Bernoulli de paramètre connu avec un dé à six faces.  Combien de tirages en moyenne faut-il faire pour avoir une réponse à l'épreuve ?

C'est ta dernière interprétation qui est la bonne , seul le numéro affiché par le dé est à considérer . En effet l'écriture de   en base 6 permet de simuler le lancer de l'aiguille très simplement ( comment ? ) . Le début de l'écriture en base 6 :   Une comparaison directe de cette écriture avec la face visible du dé permet de simuler l'expérience du lancer de l'aiguille .

J'espère que formulée ainsi ma question est plus claire

Imod

"Simuler le lancer de l'aiguille " me semble une publicité mensongère.  D'autres variables aléatoires pourraient être associées au lancer de l'aiguille qui ne seraient pas du tout données par l'épreuve de Bernoulli considérée.
Reste ma question sur le nombre moyen de lancers pour décider l'épreuve de Bernoulli.

Je vois pas en quoi j'ai trompé le client , j'ai bien dit de simuler l'expérience en connaissant le résultat . Pour calculer le nombre moyen de lancers , après chaque étape on ne relance le dé que dans un cas sur six  ...
Imod

Je n'en démords pas : en faisant ce que tu dis,  on ne simule pas l'expérience du lancer d'aiguille, mais une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre .

Tu veux t'opposer à tout prix mais si tu relis mon premier message , tu verras que je ne dis rien d'autre

En plus j'ai répondu à ta question bonus .

Imod

Buffon a résolu la question en même temps qu'il l"a posée.  C'est à la fin de son mémoire sur le jeu du franc-carreau, où on jette une pièce sur un carrelage et on gagne si la pièce est tout entière à l'intérieur d'un unique carreau. La probabilité de réussite se calcule aisément en fonction du diamètre de la pièce et du côté des carreaux.

J'ai déjà vu de nombreuses variantes du problème avec par exemple des lattes alternativement de taille a et b ou en considérant un pavage en polygone régulier ou encore en remplaçant aussi l'aiguille par un polygone régulier . Ces variantes sont plus ou moins intéressantes selon que l'on souhaite une solution astucieuse ou calculatoire .

Pour clore le problème initial , je donne une explication que j'ai trouvée assez bluffante ( je suis un grand naïf ) . Bien entendu le choix de l'expérience de Buffon et de est complètement arbitraire , tout nombre entre 0 et 1 ferait aussi bien l'affaire . On cherche les premières décimales de   dans son écriture en base 6 ( car le dé a 6 faces ) . Dans cette écriture ne figurent que des chiffres entre 0 et 5 alors que le dé affiche des entiers de 1 à 6 , on ajoute donc 1 à chaque décimale pour coordonner les affichages . On obtient donc la suite décrivant la probabilité souhaité  :  P = 263542133244...

Supposons par exemple qu'on ait lancé le dé 20 fois : 16215242644533611123 .

En comparant à la suite de référence , on va pouvoir simuler le jet d'un certain nombre d'aiguilles ( O pour un contact et N pour aucun contact ) .

Lancer 01 : 1 est inférieur au premier chiffre de P : O .
Lancer 02 : 6 est supérieur au premier chiffre de P : N .
Lancer 03 : 2 est égal au premier chiffre de P , il faut attendre le lancer suivant .
Lancer 04 : 1 est inférieur au deuxième chiffre de P : O .
Lancer 05 : 5 est supérieur au premier chiffre de P : N .
Lancer 06 : 2 on attend .
Lancer 07 : 4 est inférieur au deuxième chiffre de P : N .
Lancer 08 : 2 on attend .
Lancer 09 : 6 on attend .
Lancer 10 : 4 est supérieur au troisième chiffre de P : N .
...

La méthode peut paraître complexe mais la seule difficulté est l'obtention de l'écriture en base 6 , après on compare l'affichage à P , on dit oui , non ou je continue . On a rarement besoin de jeter le dé plus de 3 fois .
Imod

Ce que je disais et que tu ne veux pas comprendre,  c'est que ceci n'a rien à voir avec la spécificité de l'expérience du lancer d'aiguille et qu'il s'agit juste de simuler une épreuve de Bernoulli de paramètre donné.
Dans une simulation d'un lancer d'aiguille, on voudrait par exemple avoir l'information de l'angle fait avec la direction des rainures du parquet. Avec un dé, ceci ne peut bien sûr s'obtenir que de manière discrétisée. Avec deux lancers de dé pour l'angle entre 0 et 90° et deux autres lancers pour la distance à la plus proche rainure, on doit arriver à une simulation raisonnable du lancer d'aiguille.

J'avais parfaitement compris ton point de vue

Ma question n'était sans doute pas claire au départ mais j'ai essayé de la préciser à plusieurs reprises . Il ne s'agissait pas d'utiliser le dé comme une aiguille mais simplement de simuler le résultat de l'expérience en notant simplement les numéros affichés par le dé . C'est sans doute trop élémentaire mais on est dans un forum de détente et je trouve amusant qu'on puisse simuler une probabilité quelconque en quelques jets de dés . On peut trouver l'exercice trop simple ou puéril mais j'aime bien et quand j'aime je partage

Imod

Bonsoir,
J'ai mis en oeuvre ma proposition de tirer avec deux lancers de dé l'orientation et avec deux autres lancers la distance à la plus proche rainure.

import random as rd
import numpy as np

def de() : return rd.randrange(6)

a=1 ; l=2

def lancer_aiguille() :
    orientation = (2*(6*de()+de())+1)/72 * np.pi/2
    distance = (2*(6*de()+de())+1)/72 * l/2
    return orientation,distance

def rencontre_rainure() :
    orientation,distance = lancer_aiguille()
    return distance < a/2 * np.sin(orientation)

def proportion_rencontres(n) :
    rencontres = 0
    for _ in range(n) :
        rencontres += rencontre_rainure()
    return rencontres/n

for _ in range(10) : print(round(proportion_rencontres(10000),3))

Bonjour

A ma grande honte , je ne sais pas lire ton programme mais je me demande ce que tu cherches à simuler et dans quel but . On lance un carré sur un parquet , quelle est la question ?

Imod

Mon code est écrit en python.
La procédure de() (pour lancer de dé) renvoie un entier entre 0 et 5 (distribution uniforme).

la procedure lancer_aiguille() renvoie un angle entre 0 et obtenu par deux lancers de dé (lance une aiguillesdiscrétisation en 36 valeurs) et une distance entre 0 et l/2 obtenue par deux lancers de dé (ici aussi discrétisation en 36 valeurs). Ce sont l'orientation de l'aiguille par rapport aux lames de parquet et la distance du milieu de l'aiguille à la plus proche rainure.

la procédure rencontre_rainure() utilise l'orientation et la distance fournies par lancer_aiguille() pour répondre si l'aiguille rencontre une rainure.

la procédure proportion_rencontres(n) retourne la proportion d'aiguilles rencontrant le rainure.

Ce qu'on peut voir, c'est que les proportions obtenues pour des échantillons de 10 000 lancers ne se distinguent pas de celles qu'on obtiendrait par la simulation de l'épreuve de Bernoulli que tu as décrite.

Pourquoi parles-tu de carré ?

D'accord . J'avais compris que tu repérais la position du dé en le lançant effectivement sur le parquet alors que tu simules sa position en notant simplement les affichages issus de quatre lancers .

Du coup le carré n'a rien à voir dans l'affaire

Imod