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le noeud de Pavlov
Bonjour.
On considère les lignes caractérisées comme suit : chacune a deux extrémités et se trace dans l'espace à trois dimensions sans repasser par le même point.
Toutes ne sont pas équivalentes topologiquement. Certaines peuvent être contenus dans un plan ou une déformation de celui-ci, comme un segment de droite ou un chemin sur la surface d'une sphère (on dit qu'elles sont 'planables'); d'autres non, comme une ligne figurant une ficelle avec un noeud au milieu qu'on s'apprête à serrer.
Si on construit une telle ficelle, il est évident que le tracé est 'planable' au début. Question : peut-on déterminer précisément le point à partir duquel il ne l'est plus ?
Bonjour 
d'autres non, comme une ligne figurant une ficelle avec un noeud au milieu qu'on s'apprête à serrer.
En es-tu sûr?
Puisque toutes les lignes sont homotopes, je ne vois pas pourquoi elles ne seraient pas toutes planables.
Fractal
Bonsoir Fractal.
Les lignes sont peut-être homotopes dans une certaine théorie de la topologie qui définit les figures selon telles caractéristiques en négligeant d'autres caractéristisues.
Dans mon problème, il est bel et bien impossible d'inclure la ficelle dans une déformation du plan.
Selon moi, un plan qu'on a déformé garde sa topologie quand :
1. il continue à séparer totalement l'espace en deux régions;
2. il ne présente pas de lacunes ou 'trous';
3. deux points non contigus du plan original continuent à ne pas se toucher.
Selon moi, un plan qu'on a déformé garde sa topologie quand :
1. il continue à séparer totalement l'espace en deux régions;
2. il ne présente pas de lacunes ou 'trous';
3. deux points non contigus du plan original continuent à ne pas se toucher.
C'est à dire qu'un plan déformé est l'image d'un plan affine de R³ par un homéomorphisme de R³?
Dans ce cas il me semble bien que deux "lignes" sont isotopes dans le sens où il existe un homéomorphisme de R³ qui envoie l'une sur l'autre, et alors l'image d'un plan contenant un segment par cet homéomorphisme est un plan déformé contenant le segment noué.
Je ne suis pas certain de ce que j'avance, mais quand même relativement convaincu, je ne vois pas du tout où pourrait-être cette coupure entre planable et non planable.
Fractal
On se restreint aux lignes polygonales orientées ayant un nombre fini fixé N de côtés et on note une telle ligne, avec les Ai des points de l'espace.
Si et
sont deux lignes, on pose
la distance induite par la distance euclidienne de R³.
Il est facile de vérifier qu'il s'agit bien d'une distance et que la topologie induite sur l'ensemble des lignes (polygonales orientées injectives à N côtés) en fait un espace topologique séparé.
Montrons que cet espace est connexe.
Il suffit pour cela de voir qu'il est connexe par arcs, ce qui s'intuite bien parce qu'on peut toujours nouer ou dénouer de façon continue une ligne (les lignes étant élastiques)
Considérons R la relation d'équivalence sur les lignes telle que aRb si et seulement s'il existe un homéomorphisme de R³ qui envoie a sur b.
Il est facile de voir que les classes d'équivalence de R sont ouvertes et fermées, ce qui implique qu'il n'y a qu'une seule classe d'équivalence, l'ensemble de toutes les lignes.
Donc il existe un homéomorphisme de R³ envoyant un segment sur un segment noué, et l'image d'un plan contenant le segment par cet homéomorphisme est un plan déformé contenant le segment noué.
En fait l'idée principale c'est de voir qu'on peut toujours déformer continuement l'espace localement de telle façon que l'on pourra nouer la ligne en n'ayant effectué que des homéomorphismes de R³, et donc on aura un plan déformé contenant n'importe quel nœud (ouvert)
Fractal
Bonjour
Je ne vais pas laisser passer une telle occasion... S'il s'agit bien d'une courbe qui a toujours deux bouts, c'est Fractal qui a raison, on peut toujours définir un homéomorphisme de l'espace qui envoie la chose sur un segment de R. En revanche si on identifie les bouts, ça se complique drôlement!
bonjour Camelia et Fracatal
on peut toujours étirer et tordre une feuille en matériau suffisamment flexible pour qu'elle contienne la ficelle; mais c'est au prix pour cette feuille de ne plus pouvoir être incluse dans une déformation du plan
il semble que le segment de droite et la ficelle à noeud sont tout à fait équivalentes tant qu'on ne sort pas de la théorie dont vous parlez, mais commencent à différer dès qu'on introduit la notion de 'planabilité' (être inclus dans une déformation du plan tel qu'on peut la concevoir visuellement et communément)
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