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Le Nombre plastique
Le nombre plastique, aka le nombre d'argent
Bonjour à tous !
Voilà un sujet dont je voulais en parler depuis un certain temps.
C'est un cousin peu connu du nombre d'or, le nombre plastique.
Avec le nombre d'or, on empile des carrés, et avec cela on obtient une spirale
Avec le nombre plastique, on empile des triangles équilatéraux , dans le sens des aiguilles d'une montre.
Pour que les triangles s'emboitent normalement, les longueurs des trois premiers doivent être 1, les deux suivants ont pour longueur 2, puis on passe à 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, etc...
Cette suite obéit à une règle simple :
Pn = P( n-2) + P(n-3)
Chaque nombre de la suite est la somme du nombre situé deux rangs avant lui et celui qui le précède.
Les vingts premiers nombres de la suite sont :
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151.
On appelle cela la suite padovane, cela vient de Richard Padovan, architecte qui semble l'avoir utilisé pour la première fois...
Cependant, ce nombre a vraiment été découvert par Ian Stewart, un mathématicien moderne.
Le nombre plastique, qu'on désigne par 
, égale à peu près 1,324718.
De même pour Fibonnaci, plus on avance dans la suite padovane, plus le quotient de deux nombres consécutif se rapproche de
En fait, est la seule solution de l'équation :
x3 - x - 1 = 0.
Soit 3 = +1 ***malou***texte modifié***
Pour 
, c'est 2 = + 1
Etonnant ?
Revenons à notre suite...
Pn = P(n-1) + P(n-5)
Par contre, je ne vais pas m'attarder dessus.
Mais : ***malou > texte modifié une seconde fois, merci mathafou ! nettement plus joli ! ***
C'est la même chose pour mais avec le nombre d'or, c'est des racines carrées et non cubiques
Voilà, je pense avoir dit que je savais sur ce nombre. Sachez que la découverte est récente donc il est probable que d'autres propriétés soient découverts les années qui suivent.
En attendant je vous souhaite une bonne journée, et je vous met l'image de la suite.
Mon topic sur
https://www.ilemaths.net/sujet-detente-fi-phi-679569.html
Collegiendu93
Âge :11
Classe : 5è
Si un modérateur vient ici merci de modifier la somme des racines cubiques, je ne maîtrise pas super bien les bannières.
Merci d'avance
Collegiendu93
Âge :11
Classe : 5è
bonjour,
la question d'écrire ces racines cubiques c'est surtout maitriser l'usage des parenthèses !!
ce qui est bien plus fondamental que les connaissances du nombre de plastique !
vu que ce que tu as écrit est
et pas du tout ce que tu voulais dire
ce que tu voulais dire est
3
(1+3(1+3(1+....))) =
parenthèse rouges obligatoires pour dire que le premier radical contient toute la suite etc ...
pour dire
c'est comme pour les racines carrés
a+b veut réellement dire , b en dehors du radical (priorité des opérations)
pour écrire il faut grouper par des parenthèses tout ce qui est sous le radical
(a+b)
sans méjuger de l'intérêt du contenu de ton post (c'est très bien d'être curieux comme ça !)
Collegiendu93, clique sur le code source du message pour voir ce que j'ai écrit
tu ne pouvais pas t'en sortir avec autre chose que le LTX cette fois (sauf à y mettre des parenthèses)
il y a une première aide ici : 
[lien]
Bonjour malou,
pour écrire une racine cubique en LaTeX il vaut mieux écrire sqrt[3]{blabla} (c'est étudié pour) plutôt que ^3\sqrt{blabla} 
oui, m'en suis aperçu après en regardant la page que je lui pointais...il y a tellement de codes qui ne fonctionnent pas ici , je modifie ! (j'étais déjà contente d'en avoir trouvé un qui passe !)
merci!
est ce qu'il y a un équivalent pour phi = 1/ (1+1/ (1+1/ (...))) ?
désolé je ne sais pas utiliser le latex ...
Bonjour,
euh ...
je ne vois pas dans l'autre sujet (celui pour phi) une quelconque référence à la représentation en fraction continue du "nombre de plastique"
autant phi qui est un nombre quadratique (solution d'une équation du second degré) a un développement en fraction continue qui est extrêmement simple (et périodique, vu que ce n'est que des 1)
autant la représentation en fraction continue d'un nombre cubique (solution d'une équation de degré 3) n'a rigoureusement rien de trivial, en particulier n'est pas du tout périodique : les coefficients changent de façon apparemment erratique.
Ψ = [1,3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,...] (calculés sur une approximation décimale de &Psi
c'est à dire 1 + 1/(3+1/(12+1/(1+1/(1+1/(3+1/(2+...))))))
tout nombre réel quel qu'il soit peut s'écrire sous cette forme de fraction continue illimité
les coefficients sont périodiques à partir d'un certain rang si et seulement si le nombre est solution d'une équation du second degré
mathafou je vais t'embêter peut être, mais ... la démo elle se fait bien ou il faut des notions avancées ? (par curiosité)
la demo de quoi ?
si c'est "tout nombre réel peut s'écrire sous forme de fraction continue"
il faut effectivement des notions "un peu avancées" de limite et de convergence.
disons que le prouver (rigoureusement) en Terminale me semble un peu difficile !!
si c'est prouver que toute fraction continue périodique donne un nombre quadratique c'est "relativement" plus simple
prouver le contraire (que tout nombre quadratique donne une fraction continue périodique) est plus délicat
par exemple pour prouver que la fraction continue [1,1,1,1,1,1 ... ] donne le nombre d'or
on "reconnait" dans le terme en rouge x lui même
et donc si ce nombre existe (limite, convergence ... ) alors il sera solution de , c'est à dire
et comme il est "visiblement" > 0 c'est phi et pas -1/phi, l'autre solution de cette équation
reste à prouver la convergence ...
une fraction du genre [1,2,1,2,1,2 ... ] se traite de même :
dans
ce sera et là encore une équation du second degré après simplification :
dont la solution > 0 est
il n'y a rien de tel dans le nombre de plastique vu qu'elle n'est pas périodique et donc on ne peut pas reconnaitre x directement dans la fraction continue ainsi.
en tout cas si les démos t'intéressent, il y a plein de littérature là dessus.
à tout niveau mais généralement niveau plus ou moins Terminale requis (notions de limite, de suite et de de convergence, normalement étudiées sérieusement après le Bac, juste esquissées sur des trucs simples en lycée)
si on ne cherche pas trop de rigueur on peut se contenter de l'esquisse ci-dessus
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