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Niveau énigmes
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Le pendule

Posté par
LittleFox
12-02-18 à 16:53


J'aimerais faire un pendule pour le suspendre au dessus du lit de mon petit garçon. Il y aurait plein de petits poissons colorés qui tourneraient au dessus de lui quand il serait couché.

Du coup je me suis demandé combien de tel pendules différents je pourrais construire. Le pendule est composé de modules suspendus en leur milieu et avec une attache à chaque extrémité. Chaque module est libre de tourner en son milieu.

Par exemple avec 3 modules il y a deux pendules différents :

   ____|____      ____|____
 __|__   __|__    |     __|__
 |   |   |   |    *     |  _|_
 *   *   *   *          *  | |
                           * *

Avec 5 modules il y a 6 pendules différents.
Je voudrais faire 12 poissons, combien y a-t-il de pendules différents possibles?

Pour les plus aguerris: Le maire a adoré mon pendule quand il est venu me visiter. Il voudrait que je fasse les plans d'un pendule géant avec des oiseaux pour mettre sur le rond point. Il voudrait 100 oiseaux. Combien de pendules différents sont possibles?

Posté par
derny
re : Le pendule 13-02-18 à 08:39

Bonjour. Il faudrait préciser l'énoncé. Par exemple concernant les symétries (quand l'ensemble tourne, on obtient une figure symétrique donc il faudrait exclure les cas symétriques). Peut-on voir tes 6 pendules pour 5 modules pour comprendre l'esprit de ta demande.

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 13-02-18 à 11:34


Comme les pendules tournent il faut effectivement éliminer les symétriques de solutions déjà trouvées. L'exemple pour 3 modules le montre bien, je n'ai pas inclus les 3 symétriques du pendule de droite.

Petite aide, voici les 6 configurations pour 5 modules :

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Posté par
derny
re : Le pendule 13-02-18 à 13:33

C'est clair pour moi à présent. Pour l'instant je n'ai pas trop de temps mais il se peut que trouver une formule qui donne le nombre de configurations en fonction du nombre de modules ne soit pas si simple (comme pour le pliage du papier ...).

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 13-02-18 à 15:42


Il s'agit d'une énigme, donc j'ai la réponse .
En effet la formule n'est pas simple mais la série est bien connue et a même un nom .
Mais je donne trop d'indices .

Posté par
royannais
re : Le pendule 13-02-18 à 15:44

Bonjour

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Posté par
LittleFox
re : Le pendule 13-02-18 à 15:55


@royannais

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Posté par
royannais
re : Le pendule 13-02-18 à 16:45

Bonjour Littlefox

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Posté par
LittleFox
re : Le pendule 13-02-18 à 17:15


Il semblerait que royannais ait la bonne réponse et moi pas . C'est toujours possible de trouver mais un peu plus compliqué que ce que j'avais prévu

@royannais

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Posté par
LittleFox
re : Le pendule 13-02-18 à 17:23

@royannais

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Posté par
royannais
re : Le pendule 13-02-18 à 17:35

LittleFox

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Posté par
carpediem
re : Le pendule 13-02-18 à 18:13

salut

LittleFox j'ai beau regardé tes premier et deuxième posts je ne comprends pas ce que tu appelles un module ...

Posté par
bbomaths
re : Le pendule 14-02-18 à 05:57

@carpediem, bonjour.

A priori, une barre horizontale...

Posté par
derny
re : Le pendule 14-02-18 à 06:41

Bonjour à tous. Effectivement, après quelques termes et en s'aidant du site qui répertorie pas mal de suites on trouve. Mais je ne trouve pas ou ne comprends pas la formule qui donne cette suite. Pouvez-vous me l'expliciter ?

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 14-02-18 à 09:33

@carpediem
Comme le dit bbomaths, un module est une barre horizontale (accrochée en son milieu et avec une attache à chaque extrémité).

@derny
C'est pour ça que je demande le 100ème terme de la suite. Car il est n'est pas répertorié. la formule pour passer au terme suivant n'est pas si compliquée et royannais donne déjà une bonne idée de comment obtenir les éléments de celle-ci.

Posté par
royannais
re : Le pendule 15-02-18 à 16:29

bonjour

objectif 100

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Posté par
LittleFox
re : Le pendule 15-02-18 à 17:50

@royannais Oui, le nombre de possibilités augmente vite et avec 100 objets on a 37 chiffres

Je t'avoue qu'en python c'est l'affaire de 7 lignes de code et 0.05s de calcul. Et pas de soucis de longueur de nombres. Tu peux peut-être essayer d'avoir les 12 derniers chiffres de la réponse (donc la réponse modulo 1012).

Posté par
royannais
re : Le pendule 15-02-18 à 18:21

Désolé, mais je ne connais pas le "python"

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 16-02-18 à 08:49

Python est un language vraiment très simple et naturel. Il est souvent utilisé pour l'apprentissage de l'informatique.

Le compilateur de base propose un shell où les commandes peuvent être interprétée quand elles sont rentrées. Un peu comme Matlab (ou son équivalent gratuit Octave).

Vraiment fun à utiliser quand on est informaticien, vraiment facile à apprendre quand on ne l'est pas

Posté par
derny
re : Le pendule 16-02-18 à 10:17

Bonjour à tous. Si je poursuis la récurrence indiquée par Royannais je trouve 22 (suite également sur le site). Comment trouvez-vous 23 ?

Posté par
royannais
re : Le pendule 16-02-18 à 13:57

Bonjour Derny

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Posté par
royannais
re : Le pendule 16-02-18 à 14:03

Bonjour Derny

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Posté par
derny
re : Le pendule 16-02-18 à 14:11

avec 4 objets de chaque côté c'est la configuration de l'énoncé il me semble ? d'où 2 configurations ...

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 16-02-18 à 14:14

La question est comment tu trouves 22

objets possibilités
0      1
1      1
2      1*(1+1)/2  = 1
3      1*1 = 1
4      1*1+1*(1+1)/2 = 2
5      1*2+1*1 = 3
6      1*3+1*2+1*(1+1)/2 = 6
7      1*6+1*3+1*2 = 11
8      1*11+1*6+1*3+2*(2+1)/2 = 23
9      1*23+1*11+1*6+2*3 = 46
10     1*46+1*23+1*11+2*6+3*(3+1)/2 = 98
11     1*98+1*46+1*23+2*11+3*6 = 207
12     1*207+1*98+1*46+2*23+3*11+6*(6+1)/2 = 451
...
99     416838603237108467066464398213155878
100    1019560119620720464013531852138491082
101    2494155217372585318678938493802359939

Posté par
royannais
re : Le pendule 16-02-18 à 14:22

Derny

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Posté par
lafol Moderateur
re : Le pendule 16-02-18 à 14:27

bonjour
c'est moi ou tous ces mobiles vont se ratatiner lamentablement sous l'effet de la pesanteur ?
en mettant trois ou quatre poissons d'un côté et un seul de l'autre, si on accroche vraiment au milieu, ça ne peut pas marcher .... encore un exercice "de prof de maths" .... qui n'a jamais cherché à équilibrer un vrai mobile pour le pendre dans sa chambre quand il était gamin, de surcroît

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 16-02-18 à 14:45


@lafol

J'ai jamais dit que les poissons étaient de même poids .

J'ai d'ailleurs considéré le problème et royannais aussi dans les commentaires :

royannais @ 13-02-2018 à 15:44

Bonjour
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LittleFox @ 13-02-2018 à 17:23

@royannais
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Bon évidemment dans les cas extrêmes on aura un poisson 256 fois plus lourd que le plus léger en négligeant le poids des modules.  511 fois plus lourd si les modules ont un poids constant égal au poids du poisson le plus léger. Rien d'impossible.

Le module demandé par le maire par contre... c'est plus compliqué.

Je suis un ingénieur civil, pas un prof de math

Posté par
LittleFox
re : Le pendule 16-02-18 à 14:49


Oups, ça c'est pour les pendules à 10 poissons et pas 12.

Pour n poissons, c'est 2^{n-2} et 2^{n-1}-1.

Posté par
lafol Moderateur
re : Le pendule 16-02-18 à 14:51

quand je fais un mobile, je pars des objets à suspendre, à partir de là, si ton mobile de gauche est à l'équilibre, celui de droite n'est plus possible, dans ton illustration du haut, par exemple, donc non, pour quatre objets à suspendre, il n'y a plus "deux pendules différents", sauf si on indique dès le début qu'on n'accrochera pas au milieu, mais là où il faut pour conserver l'équilibre
(et je n'avais pas regardé les blanqués sauf celui annoncé "Petite aide, voici les 6 configurations pour 5 modules : " ...

Posté par
derny
re : Le pendule 16-02-18 à 14:51

Oui lafol pour que tout soit en équilibre il faudrait jouer sur les longueurs des bras de levier.
Vu pour 23 ... et la suite.
Vu la récurrence pour trouver la suite.
Mais peut-on établir une formule qui donne le résultat en fonction du nombre d'objets ?

Posté par
littleguy
re : Le pendule 16-02-18 à 15:26

Bonjour derny,

Tu peux la retrouver ici :

Posté par
littleguy
re : Le pendule 16-02-18 à 15:33

La "maison" ne semble pas répondre...

https://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%E2%80%93Etherington_number

Posté par
derny
re : Le pendule 16-02-18 à 16:19

Merci

Posté par
bbomaths
re : Le pendule 19-02-18 à 11:29

Bonjour.

Citation :
en mettant trois ou quatre poissons d'un côté et un seul de l'autre


Quelqu'un a essayé avec des poissons volant ?

Posté par
dpi
re : Le pendule 19-02-18 à 18:00

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