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Le plan , le cône et la sphère...

Posté par
matheuxmatou
04-02-20 à 11:10

Bonjour à tous,

On se donne :

un cône de révolution (en sépia)
un plan (en gris) intersectant le cône selon une ellipse (en bleu)
les deux sphères (en vert) inscrites dans le cône et tangentes au plan.

petite propriété amusante :

les deux points de contact des sphères sur le plan sont les foyers de l'ellipse...

Merci de blanker vos suggestions

Le plan , le cône et la sphère...

Posté par
lake
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 13:20

Bonjour matheuxmatou,

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Posté par
larrech
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 13:35

Bonjour à tous ,

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Posté par
verdurin
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:10

Bonjour,
c'est aussi vrai pour les hyperboles.
Les sphères ne sont pas dans le même demi-cône, et les points de contacts sont les foyers de l'hyperbole.

Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:18

verdurin oui... et la démonstration est la même ...

Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:19

lake

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:46

Bonjour,

et enfin ça marche aussi pour une parabole si le plan est parallèle à l'axe.
(il n'y a qu'une sphère dans ce cas là)

Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:53

mathafou
plutôt "parallèle à une génératrice" je crois

Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:54

ce que j'aime dans cette propriété, c'est la simplicité de la démonstration !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:58

oui, exact , bien sur

Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 14:59

j'avoue que je ne la connaissais pas pour la parabole...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 15:35

mais pour la parabole ce n'est pas aussi simple

car la définition focale de la parabole c'est MF = MH avec H sur la directrice
il faut donc faire intervenir cette directrice qui est l'intersection avec le plan de la parabole du plan contenant le cercle de contact de la sphère
chose totalement inutile dans le cas de l'ellipse ou de l'hyperbole, à moins de vouloir définir l'excentricité sur cette figure dans l'espace
on le fait dans le cas de la parabole et on trouve l'excentricité = 1 et le CQFD

Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 15:41

mathafou je vais regarder ça... justement je me demandais où était la directrice pour obtenir cette égalité. Merci

Posté par
lake
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 15:56

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Posté par
larrech
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 16:06

mathafou

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Posté par
matheuxmatou
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 16:08

lake

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Posté par
lake
re : Le plan , le cône et la sphère... 04-02-20 à 16:12

Oh!

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Posté par
luzak
re : Le plan , le cône et la sphère... 06-02-20 à 09:42

Bonjour !
Dans le temps(!) on définissait les coniques
.  (sauf la parabole) par la présence des deux foyers (confondus dans le cas du cercle). Dans ce cas la démonstration des théorèmes de Dandelin était celle présentée auLes "bons profs" début : il fallait en sortir pour trouver les paraboles.
. OU par directrice et foyer (du coup la parabole était définie aussi, mais pas le cercle) et c'est la deuxième démonstration qui était utilisée en faisant apparaître une (il y en deux pour ellipse et hyperbole) directrice.

Selon le choix des définitions (Lebossé-Hémery vs Lespinard-Pernet) on privilégiait une des démonstrations.
Les "bons profs" présentaient les deux !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le plan , le cône et la sphère... 06-02-20 à 09:53

pour ma part j'ai "bénéficié" du Girard - Lentin (cours Maillard)
les Lebossé Hemery jusqu'en première et les Maillard en Terminale
il y avait dedans de quoi remplir deux années de cours au moins !
les bons élèves farfouillaient avec curiosité dans tout ce matériau (et prenaient ainsi de l'avance sur les cours de géométrie descriptive de Math sup )
ceux du fond de la classe se contentaient de le ranger et de ne le sortir que pour avoir l'énoncé de l'exercice...



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