>littlefox

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Je ne m'attendais pas à cette optimisation qui fait
appel à un super métallurgiste.
On attend d'autres réponses  avec un cone

Bonjour,

on peut découper comme on veut avant de souder ?
volume fermé ? ou un "bol" ?

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la borne supérieure d'un volume fermé est une sphère de surface 1m² et donc de rayon ,

donc de volume soit 94 litres environ

s'il s'agit d'un récipient ouvert (genre bol) c'est une demi sphère de surface 1m²
ce qui donne finalement un volume de soit 132 litres

pour faire ça il y aura plus de soudure que de matériau d'origine !
pour les puristes, souder est sans apport de matériau contrairement à braser, donc on peut dire que on a refondu pratiquement tout le matériau d'origine
et si c'est collé il y aura plus de colle que de matériau d'origine

il faut donc pour obtenir un résultat pratique se limiter dans les formes à des surfaces développables par morceaux
(au plus simple assemblage de polyèdres, cônes et cylindres)

au plus simple toujours, on peut réaliser un "bicône", de patron



l'apothème du cône est , rayon du cercle d'aire 1 m²
le périmètre du cercle de base est
et son rayon est donc
Pythagore donne la hauteur d'un des cônes =

et le volume du bicône est
soit 81 litres au lieu de 94

pour faire plus il faudra des découpages plus complexes ... ce qui occasionnera en pratique des chutes.

sauf erreurs de calculs

>mathafou

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Comme pour littlefox qui a opté pour une sphère,
Je pense qu'on va rester sur des récipients sans déformation
autre que courbure simple.
On évitera les travaux de carrosserie...

comme je le disais,

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la sphère est impossible à réaliser car n'est pas une surface développable

j'ai donné mon idée avec un bicone qui ne perd aucune parcelle du disque de départ
mais a l'inconvénient d'avoir une forme bien trop "pointue" pour être proche de l'optimum de la sphère.

on peut découper en morceaux avec des chutes à cause des arcs de cercle, pour former le patron d'un icosaèdre (solide régulier le plus proche d'une sphère, 20 faces triangulaires)

l'aire de l'icosaèdre en fonction de son côté est
donc pour une aire de 1m²,

son volume est alors
étant le nombre d'or
ce qui donne le plus grand volume possible avec une forme d'icosaèdre = 0.0856 soit 85,6 litres > bicone
reste que la présence de chutes fait baisser cette valeur.

sans trop se casser la tête monstrueusement on peut atteindre 66.9 litres inférieure au volume du bicone



on découpe 18 des faces directement (en cyan) et on redécoupe les deux dernières par petits bouts (autres couleurs)
ce qui est en blanc reste à jeter (gâchis, expliquant cette valeur trop faible)

on peut améliorer par une découpe (beaucoup) plus compliquée en partant de 17 triangles seulement (plus gros)



(source "packing center", r = 1.730a)
et de redécouper les chutes pour reformer les 3 derniers triangles
(j'essaierais même pas, c'est en tout cas possible puisque l'aire des 20 faces est de 0.9210 < 1))
on obtient 75.6 litres, encore inférieur au bicone

pas si mauvais que ça ce bicone finalement ... surtout vu sa simplicité (un seul trait de découpe)
sauf erreurs de calculs numériques

Bonjour à tous,

Cet exercice peut amener à des extrapolations assez originales.
Afin de canaliser les réponses ,on s'en tiendra à:
1 disque de  1m² ----> 1  seul récipient à courbure simple.

comme déja dit la sphère ou toute surface comportant une portion de sphère est impossible
il ne reste que des solides composés de morceaux de plans, cylindres et cône (surfaces développables)

tu n'as toujours pas répondu à la question sur ce que tu appelles "récipient"

pour illustrer :
différence entre un bol (récipient ouvert) et une brique de lait (récipient fermé)
ce sont deux "récipients"

personne n'a imaginé parler de plus de 1 seul récipient d'un seul tenant après soudure
et les cônes, cylindres et plans sont "à courbure simple"
je ne blanque pas cette réponse-ci exprès.
na.

PS : et qu'il s'agit de proposer une réalisation effective et pas une élucubration uniquement théorique à la Banach-Starski avec un nombre infini de morceaux resoudés.

On va dire que seul un cône simple convient.

L'exercice se limite finalement à trouver quel est le meilleur ..

A  noter que mathafou a trouvé la meilleure solution avec un
double cône.

fermé ou ouvert ?? (ça fait de nombreuses fois que je pose la question)

Voici mon interprétation :

On cherche à faire un bol conique à partir d'un secteur d'un disque de 1m² d'aire.  On considère que les deux côtés droit du secteur sont soudés sans pertes ni addition.

Quel est le plus grand volume possible pour le bol?

si c'est une histoire de cône il n'y a qu'à aller voir Alain ...

sans pertes c'est impossible.

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le secteur découpé (hachuré) est jeté



au plus tordu, on le redécoupe pour ajouter une bande autour formée de petits bouts, ce qui laissera toujours des chutes de toute façon.

cet exo est avec cette interprétation connu
c'est un classique comme exo sur la dérivation pour trouver le maximum (défini par exemple en fonction de l'angle)
cela donne les valeurs de la figure.

on peut le faire comme Yakov Perelman in "Oh, les Maths" sans aucune dérivation

lemme :
si la somme est constante
le produit généralisé
est maximum quand les sont en proportion des exposants



c'est une généralisation du bien connu :

si constante, le produit est maximal quand
(pour un périmètre donné, le rectangle de plus grande aire est le carré)

mathafou : bon j'ai regardé ta réponse  ..

intéressant ce lemme : tu as une démonstration ""élémentaire"" ?

sinon :

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comme tu as deux secteurs on peut donc faire (comme tu l'avais déjà dit plus haut) deux cônes ...

pourquoi prends-tu le plus grand et pas le plus petit  ? puisque le plus grand devient plus petit quand le plus petit devient plus grand !!!

et ton bicône consiste à couper suivant un diamètre mais cela correspond-il au maximum ?

PS : pas envie de chercher même si c'est pas bien dur ... ou alors plus tard ...

en d'autres termes pourquoi le volume serait-il connexe ?

Bonjour

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Dans le disque d'aire 1m²on découpe un dodécagône de 0.9549m²,
dans lequel par un savant découpage et quelques soudures on peut obtenir 15 triangles équilatéraux  de 0.06366 m² et de coté 0.3834 m. On construit ensuite une cuve en forme d'icosaèdre reposant sur un de ses sommets avec une surface libre en forme de pentagone et d'un volume de  105.99 litres environ (sauf erreur de calcul)

Je confirme la réponse de mathafou :

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Soit a [0,1] la portion du disque que l'on prend, le volume est donné par avec . Ce volume est maximum quand et est de

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Le volume à maximiser est alors
Le volume est maximum quand et vaut , ce qui est un tout petit peu plus grand qu'en utilisant ( comme montré par mathafou)  

réponse précédente à carpediem

royannais : joli (pas vérifié les calculs)

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reste à expliciter le "savant découpage" d'un dodécagone en 15 triangles
on sait que c'est possible par le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien-Lowry affirmant de façon constructive (donnant explicitement une méthode pour le faire) la possibilité de dissection de n'importe quel polygone en n'importe quel autre en un nombre fini de morceaux

reste que la méthode "théorique" donne un bien trop grand nombre de morceaux pour une utilisation pratique.

au passage d'ailleurs tant qu'à dissecter, rien n'empêcherait de partir d'un polygone à autant de côtés qu'on veut
diminuant les chutes et donc augmentant la surface et donc le volume du polyèdre final.

et je pense que le demi dodécaèdre coupé par son plan médiateur (avec des morceaux en trapèzes et triangles plus petits) donnerait un volume plus grands vu que les morceaux seraient tous plus grands (récup de davantage de matière)

Bonsoir

>royannais
On ne s'attendait pas à une telle bête mais bravo 106 dm³
soit mieux que la sphère par ailleurs écartée 94 dm³
ce qui assez étrange...

>Au sujet du cône on remarque que le volume maximum est
atteint quand l'aire de sa base et égale au 2/3 de l'aire  du disque initial
On aboutit à la belle formule V =23R³ /27
Ici V=72.3855  dm³.

>Au sujet du  double cône  (180°) on obtient  40.7168 x2 =81.4337 dm³
et on peut affirmer que tout autre découpage par exemple 179/181
donnera un volume inférieur --->81.434.

>il est inutile d'essayer 3 cônes

Erreur
>au sujet du double cône
Je retire ce que j'ai dit (le chiffrage montre l'erreur )
Le maximum de la somme des  volumes des 2 cônes
est obtenu pour deux angles  de 116.645 et 243.355
avec 82.067 dm³.

pour la sphère :
c'est normal qu'on obtienne plus car le récipient obtenu est un récipient ouvert
et non un récipient fermé (j'ai assez insisté là dessus !!!!!)

comparer avec le célèbre problème de la cloture
si la cloture est en pleine pampa (rectangle complet cloturé, le maximum est un carré
si la cloture s'appuie sur un mur existant, une rivière etc, seulement trois côtés cloturés, le maximum est un demi-carré et l'aire est évidemment plus grande pour la même quantité de fil de fer.

et donc le volume théorique maximal d'un tel récipient ouvert d'aire 1m² est le volume d'une DEMI-sphère d'aire 1m² (la moitié d'une sphère d'aire 2m²)
voire ma toute première intervention : volume théorique maximal d'un récipient ouvert = 132 litres

les bicônes : tu veux dire deux cones séparés
(ne se raccordent pas en un seul récipient car ils ont des bases différentes)

>mathafou

Je croyais comme toi qu'en coupant le cercle en 2 (180 °)
on obtenait deux cônes offrant  le volume maximal.
Comme c'est (116, 645 et 243,355°) la solution, je serais
curieux d'avoir la raison.

amélioration du récipient de royannais

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comme je le disais on peut obtenir un volume plus grand en coupant un icosaèdre (qui sera plus grand) en deux par son plan médiateur au lieu de lui retirer une calotte.



il n'y a plus que 10 triangles dont 5 sont coupés en deux par une "droite des milieux" pour former 5 trapèzes et 5 petits triangles
10 triangles au lieu de 15, ils sont plus grands.

calculons donc
le rayon du disque est, déja dit,
l'aire du dodécagone inscrit est
comme cette aire doit être celle du demi icosaèdre formé de l'équivalent de 10 triangles
l'aire d'un triangle est et le coté d'un tel triangle

le volume de l'icoaèdre (entier) est (déja dit)
le volume du bol est donc de


comme attendu plus grand que celui de royannais

rien à voir avec un problème de maximum

la raison est que si on ne coupe pas en deux on obtient deux cones de bases différentes
point barre

on ne peut pas faire un récipient avec ces deux cônes
on fait deux récipients séparés dont le volume total est etc comme tu as calculé

je ne crois pas et je n'ai jamais cru que en coupant en deux on obtient un volume maximal de quoi que ce soit
à part la seule façon d'obtenir un seul récipient fermé "biconique" est de couper en deux
sauf à faire deux cônes identiques plus petits, avec chute jetée, donc sans intérêt.



et que le "maximum" d'une seule valeur possible est ... cette valeur unique :
le plus grand bicone est celui obtenu en coupant en deux vu que c'est le seul sans perte.
si on veut plus grand ce ne sera pas un bicone.

c'est tout.

Merci à dpi pour ce sujet passionnant qui nous entraîne sur de multiples pistes

>mathafou

Pour le cône unique il suffit de couper un secteur de 66.061°.
Soit une seule soudure.
Bien sûr comme sur ton dessin on peut avoir une symétrie
de "parties jetées" (33.03°) mais pourquoi pas n secteurs
totalisant 66.031°

Ma question pour 2 cônes  (qui ne satisfont pas l'énoncé )est
une simple curiosité:
Pourquoi le maximum est atteint pour deux valeurs aussi quelconques
que  116.645 et 243.355°.

>royannais
Merci ,même si ce n'est pas académique ,on peut être curieux

pourquoi penses tu que le maximum d'un problème à l'énoncé symétrique serait "au milieu" ?



quant aux valeurs "quelconques" elles ne le sont pas puisque ce sont les valeurs d'angle qui donnent le maximum !
pas plus ni moins que l'angle aigu d'un triangle 3-4-5 arctan(3/4) = 36.8698976...°
"mathématiquement parlant" il y a infiniment plus de valeurs "quelconques" ( = irrationnelles) selon ton critère que de valeurs rationnelles

Pour les 2 cônes de 117° et 243°, ça peut correspondre à l'énoncé.

On coupe le disque selon un rayon ensuite on forme les bases des deux cônes en faisant un 8 asymétrique. Deux soudures et le tour est joué. On a un récipient de volume maximal pour deux cônes.

nb : ça fait un joli récipient mais pas pratique du tout. Les deux bases des cônes ne sont pas dans le même plans, elles forment un angle de 61° du coup on renverserait le liquide. A condition d'y mettre du liquide .

Du coup on revient à deux cônes quitte à les souder en un seul point pour faire un seul volume (non connexe évidemment).

*Pour le cône s'est fini:
Pour un disque de rayon R on aura le volume  max  pour le cône :soit V=23R³/27.

*Pour toute autre courbure, on oubli (récipient ouvert ou fermé)

*Pour 2 cônes ma question est simplement mathématique quel est le
justificatif pour que la courbe de Gauss ait son maxi pour la paire 116.645/243.355
en degrés soit en radians (2.0358 / 4.2473)

dans le même ordre d'idée on n'est pas franchement obligé de refermer les deux cônes complètement ...
et du coup ça fait bien un seul récipient (sans soudure d'ailleurs ! avec des plis à la place des soudures)
et on peut faire ça avec plus de deux cônes aussi
parce que un cône à partir d'un "grand" secteur sera trop "plat" et le récipient dans son ensemble limité par cette hauteur de ce cône presque plat là, donc en rassemblant uniquement des cones "aigus" on va maximiser la hauteur (au détriment du "diamètre")

pour un éventuel calcul de cette chose, on tombe dans la même difficulté que le "calot" discuté jadis à propos du récipient obtenu d'une feuille A4

en tout cas le fait qu'il y a alors des parties "rentrantes" ne présage rien de bon sur l'obtentio d'un maximum ainsi.

la courbe de Gauss ??? qu'est ce que ça vient faire là ???

il s'agit de calculer le volume des deux cônes en fonction de x (par exemple de l'angle au centre d'un des secteurs, l'autre étant 2 - x
on obtient une fonction volume total = f(x) dont on cherche le maximum
point barre.

périmètre de la base du cône "x" : le rayon de la base de ce cône est donc et donc
sa hauteur est
et son volume

pareil pour l'autre en remplaçant par
et le volume total, en exprimant x en tours au lieu de radians pour simplifier l'écriture :


la fonction s'étudie "comme d'hab" (dérivée etc)

il est évident que cette fonction est symétrique par rapport à
on peut donc simplifier éventuellement les calculs (hum) en posant




cela donne en choisissant la bonne fenêtre une courbe comme dit précédemment avec deux maximas de part et d'autre et un minimum local pour X = 0


le maximum est pour x ≈ 0.67599... tours soit 243.35501... degré
(et bien sûr le symétrique 360°-x, qui est l'autre angle)

y a un carré qui a sauté dans une des formules, rectifiée la ligne d'après
le lecteur corrigera de lui-même

>mathafou

Merci pour ton calcul qui bien sûr confirme.
Quant à Gauss  voir  ma courbe ?

ta courbe ne représente en fait pas grand chose puisqu'on n'y voit même pas le maximum en tant que maximum (ça doit redescendre après un maximum !!)

et d'autre part ce n'est pas parce qu'une courbe a une vague allure de S ou de cloche (la courbe de Gauss est en cloche d'ailleurs, pas en S) que c'est une courbe de Gauss

la vraie courbe est comme j'ai indiqué dans un précédent message.

de façon chiffrée :



en vert et en bleu les volumes individuels de chaque cône
en rouge le volume total
la symétrie permettrait de se contenter de [180; 360°] mais n'afficher que cela masquerait la nature symétrique de la chose.

et avec un zoom sur la partie supérieure de la courbe :



avec l'allure caractéristique à double bosse de mon message du 06-07-17 à 10:47
ne montrer qu'un petit bout de cette courbe entre 180 et 116 (sic) masque complètement le phénomène.

Euh, ce n'est pas une gaussienne, juste une partie du graphique complet que mathafou a déjà dessiné :

mathafou @ 06-07-2017 à 10:47

pourquoi penses tu que le maximum d'un problème à l'énoncé symétrique serait "au milieu" ?



quant aux valeurs "quelconques" elles ne le sont pas puisque ce sont les valeurs d'angle qui donnent le maximum !
pas plus ni moins que l'angle aigu d'un triangle 3-4-5 arctan(3/4) = 36.8698976...°
"mathématiquement parlant" il y a infiniment plus de valeurs "quelconques" ( = irrationnelles) selon ton critère que de valeurs rationnelles

>mathafou

j'aurais du mettre "Gauss"  en voyant cette partie de courbe et
en supposant que le sommet étant atteint l'autre partie serait
symétrique .
J'ai bien vu dans ton étude  la vraie forme,encore merci

il n'empêche que "Gauss" est une courbe bien précise et pas n'importe quelle courbe qui a un maximum.