bonjour,
pour moi c'est la deuxième définition qui est la bonne...

Non, vous avez tout les deux faux.
Je vais t'écrire la définition, et pour cela on a besoin de D, l'ensemble de définition de f.

On ne parle de limite en a selon A que si a appartient à Adh(A), sinon cela n'a pas trop de sens.
Maintenant je t'écris la définition de "f admet la limite l en a selon A" :
Vv(l), Wv(a) f(WA)V.
Avec v(x) = l'ensemble des voisinages de x.

Tu peux remplacer les voisinages par des boules ouvertes dans le cas d'espace métrique ou encore par des epsilon et des éta.

Maintenant, "f admet la limite l en a" signifie "f admet la limite l en a selon D" où D est l'ensemble de définition de f.

Maintenant, ta 1ère définition n'est valide que si f est bien définie partout et dans ce cas, c'est la bonne.
Ta deuxième définition est la définition de "limite épointée" : limite en a selon D\{a}.

Et d'ailleurs petitecerise, si f est définie en a et si lim f en a vaut l alors l=f(a).
Pas besoin de continuité (on suppose nos espaces séparés, c'est tout).

Drysss, comment fais tu avec une fonction du type f(0) = 15 et f(x) = x sinon ?

j'ai oublié de préciser que dans ce cas: f est définie en 0 et limite de f en 0 vaut l = 0 mais on n'a pas l = f(0) ...

Mais VERIFIE ce que tu dis.
Regarde dans un livre et tu verras que ce sont mes définitions qui sont justes.

Pour ton exemple, f admet 0 comme limite EPOINTEE en 0 mais n'admet en aucun cas 0 comme limite en 0.

ta fonction f n'a pas de limites en 0.

Par contre, ca ne sert à rien de continuer dans cette discussion stérile... Je ne vais pas pouvoir te prouver une définition. La seule facon de te convaincre est bien de te dire de vérifier tes cours, de regarder sur wikipedia, internet...

Et ca m'étonnerait qu'on apprenne dans le cadre des programmes scolaires une définition fausse. Surtout que je ne vois aucune raison d'exclure le point a de la notion de limite en a... Quel est l'intérêt? La notion de limite épointée est beaucoup moins naturelle que celle de limite, je trouve.

Elle permet quand meme de définir une fonction continue en a par "limite de f en a égale f(a)"....C'est précisément comme cela que l'on me la appris à l'université. Je pense que nos deux points de vue sont justes c'est seulement deux façons différentes de procéder. Je maintiens que c'est ce qui est dans les programmes du CAPES...

Ah mais là, je pense que tu fais une petite confusion.

on a l'équivalence :
f est continue en a
ssi
il existe la limite de f en a.

Ton équivalence est juste mais tu te trompes complètement sur le point qui pose problème dans l'équivalence. Ce qui est difficile à vérifier, c'est l'EXISTENCE de la limite et non le fait qu'elle soit égale à f(a) ce qui est acquis dès que la limite existe.

Bon, je ne sais pas si je t'ai éclairé sur ce point. En tout cas ce qui est sur, c'est qu'à l'université, on t'a appris ma version de limite.

Après comme on a aussi l'équivalence :
f est continue en a
ssi
il existe la limite épointée l de f en a et l=f(a),
tu ne fais pas d'erreur de logique, tes raisonnements sont justes avec ta définition. Reste que les définitions que tu utilises sont assez étranges et ne sont ni celles qu'on t'a apprises ni celles que les mathématiciens utilisent.

je vois que ma question a fait debat
et je rejoins petitecerise en disant que j'ai appris la meme chose a l'université et que ce n'est pas une question que je suis le seul a me poser
je ne pense pas que la réponse soit juste "vérifie ce que tu dis"
je pense que c'est plus subtile que ça, j'ai trouvé un lien pas mal  si ça vous interesse
www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf
dites moi ce que vous en pensez

Bon pour le capes, il y a peut-être discussion.
Mais quand on veut manipuler les limites dans des cas un peu plus généraux, on travaille avec des voisinages.
Et là, il n'y a plus de discussion possible, à part si tu veux redéfinir la notion de voisinage.

Enfin, je trouve franchement que la définition 1 dans l'article est plus cohérente.

Et puis, d'après ce que j'ai lu, ma définition est aussi celle de Bourbaki et là, j'ai envie de dire "le débat est clos" xD.

en tous cas ca me fait "marrer"...apres 6 ans de capes, les questions concernant les limites sont les mêmes : je me souviens qu'on avait eu le même "débat" avec le prof en préparation à l'oral. A l'époque, j'avais tranché sur la 1eres definition qui posait beaucoup moins de problèmes en termes de conditions d'utilisation.