Niveau terminale

les angles orientés

Posté par
moustapha918 12-01-11 à 22:08

bonjours
dans le plan orienté on donne un triangle ABC propre et les droites (S),(T) et (U) vecteurs directeurs respectifs s t et u qui passent par A,B et C vérifient (AB;s)=(BC;t)=(CA;u)=x[pu]
on pose A1 =(U) inter (T) B1=(u)inter(S) et C1=(T)inter(S)
1) montrer que (s;u)=(AB.AC) et (t;s)=(BC.BA) .....
2°a)montrer que les cercles circonscrits aux triangles ABC1,BCA etCAB1 ont un point commun D
b)montrer que(AB.AD)=(BC.BD)=(CA.CD)
Je manque la solution de la question 2°b)
et merci

Posté par re : les angles orientés 15-01-11 à 23:00

(réalisé avec Geogebra)

les angles orientés

Posté par re : les angles orientés 15-01-11 à 23:00

Bonjour,

1)

Relation de Chasles :
$3$\left( \vec{s},\vec{u} \right) = \left( \vec{s},\vec{AB} \right) + \left( \vec{AB},\vec{AC} \right) + \left( \vec{AC},\vec{u} \right)$

$3$\left( \vec{s},\vec{u} \right) = -x + \left( \vec{AB},\vec{AC} \right) + x\quad(\pi)$

$3$\left( \vec{s},\vec{u} \right) = \left( \vec{AB},\vec{AC} \right) \quad(\pi)$

2)a) Soit D le point d'intersection des cercles (CAB₁) et (ABC₁).
On veut montrer qu'il appartient également à (BCA₁)

Somme des angles autour d'un point :
$3$\left(\vec{DC},\vec{DB}\right) = 2\pi - \left(\vec{DA},\vec{DC}\right) - \left(\vec{DB},\vec{DA}\right) \quad(2\pi)$

Angles inscrits :
$3$\left(\vec{DC},\vec{DB}\right) = 2\pi - \left(\vec{B_1A},\vec{B_1C} \right) - \left(\vec{C_1B},\vec{C_1A}\right) \quad(\pi)$

Somme des angles dans le triangle A₁B₁C₁ :
$3$\left(\vec{DC},\vec{DB}\right) = \left(\vec{A_1C},\vec{A_1B}\right) \quad(\pi)$

Donc, d'après la réciproque de la propriété des angles inscrits, D est sur le cercle (BCA₁)

2)b)

Une piste de réflexion...

Relation de Chasles :
$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = \left( \vec{AB},\vec{AC_1} \right) + \left( \vec{AC_1},\vec{AD} \right)\quad(2\pi)$

$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = x + \left( \vec{AC_1},\vec{AD} \right)\quad(\pi)$

Angles inscrits :
$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = x + \left( \vec{BC_1},\vec{BD} \right)\quad(\pi)$

$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = x + - \left( \vec{BD},\vec{BA_1} \right)\quad(\pi)$

$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = x - \left( \vec{BD},\vec{BC} \right) - \left( \vec{BC},\vec{BA_1}\right)\quad(\pi)$

$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = x - \left( \vec{BD},\vec{BC} \right) - x\quad(\pi)$

$3$\left( \vec{AB},\vec{AD} \right) = \left( \vec{BC},\vec{BD} \right) \quad(\pi)$

Conjecture sous Geogebra : les trois cercles (CAB₁), (ABC₁) et (BCA₁) ne dépendent pas de x.

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par re : les angles orientés 20-01-11 à 15:33

mr nicolas_75 je vous remercie beau-coup de votre aide

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