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Niveau 3 *
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Les chariots.***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
02-10-05 à 10:40

Deux chariots A et B placés sur des plans horizontaux différents sont reliés par un cable flexible (voir dessin).

La poulie est petite et de masse négligeable.
On considère qu'il n'y a pas de frottement.
Le câble est tendu et supposé non extensible.

On applique une force F = 220 N comme indiqué sur le dessin.

Le chariot A a une masse de 90 kg et le chariot B une masse de 135 kg.

La vitesse des chariots étant nulle au départ, calculer l'accélération des deux chariots et la tension dans le câble au moment représenté par le dessin.

Les accélérations seront données en m/s² arrondies au centième le plus proche.
La tension dans le câble sera donnée en Newtons arrondie au dixième le plus proche.
-----
Bonne chance à tous.  





Les chariots.

Posté par
Nofutur2
re : Les chariots.*** 02-10-05 à 13:11

gagnéSoit aA et aB les accélérations des masses A et B.
On a :
- en A  T =mA *aA   (1)
- en B   F-Tcos(alpha) = mB*aB avec cos (alpha) = 7/(72+32) =7/(58)   (2)

De plus soit dxA et dxB les déplacements élémentaires de A et B autour de la position donnée .
(7+dxB)2 + 32 = ((72+32) +dxA)2
Ce qui donne en négligeant des termes du second ordre .
14dxB = 2dxA*(58)
dxB =(58)/7 *dxA (3)

En utilisant (1) et (3) , l'équation (2) donne aA = (7*(58)*F)/(58mB+49mA)
aA = 0,9581 = 0,96 m/s2 (en arrondissant)
aB = rac(58)/7 * aA = 1,042 = 1,04 m/s2 (en arrondissant).
T = mA * aA = 90*0,9581 = 86,229 = 86,2 N (en arrondissant)

Posté par
alfred15
re : Les chariots.*** 02-10-05 à 13:23

perduBonjour

Charriot A : a = 2,25 m/s²
Charriot B : a = 1,63 m/s²
Cable :       T = 202,2 N

Merci pour l'énigme

Posté par
piepalm
re : Les chariots.*** 02-10-05 à 16:02

gagnéLa longueur du fil entre la poulie et le chariot B sera donc rac(3^2+7^2)=rac(58)=7.616m
l'accélération gA du chariot A sera donc liée à celle gB du chariot B par gA=7gB/rac(58)
De même la composante horizontale de la tension T du fil sera 7T/rac(58)
Si mA et mB sont les masses des chariots, les équations des mouvements s'écrivent:
T=mA*gA=7mA*gB/rac(58) et F- 7T/rac(58)=mB*gB
soit F=(49/58mA+mB)gB
soit gB=1,04ms^-2,  gA=0,96 ms^-2 et T=86,2 N

Posté par azban (invité)Maybe 03-10-05 à 14:05

perduAccélération de A=B =1.05m/s
Tension dans le cable T=239.4N
Alors?
Vite la réponse j'ai fait ca trops à l'arrach

Posté par papanoel (invité)re : Les chariots.*** 03-10-05 à 15:01

perduSalut,
pas bien sur de mes resultat, je dirai
que l acceleration est 1.01m/s²
et la tension de 90.9N
@+

Posté par philoux (invité)re : Les chariots.*** 03-10-05 à 17:09

perduBonjour,

Réponse proposée : x"B = 3,73 m/s², x"A=3,43 m/s² et T=308,6 N

Je me lance, sans être vraiment sûr...

Quand B avance de x, cherchons de combien (y) avance A.

Soit la corde de longueur L=l1+l2 à t0 et l'1+l'2 à t1, B ayant avancé de x.

à t0, l2=rac(3²+7²)=rac(58) et L=l1+l2

à t1, l'2=rac(3²+(7+x)²) et l'1=l1-y

or l'1+l'2=L

l1-y+rac(3²+(7+x)²)=L=l1+rac(58)

y = f(x) = rac(3²+(7+x)²) - rac(58) => y' = (x+7)/rac(3²+(7+x)²)

en dérivant une et deux fois :

y' = f'(x).x'(t)

y" = f"(x).(x'(t))² + x"(t).f'(x)

l'accélération en A, y" dépend de la vitesse et accélération en B.


Maintenant, mécaniquement, j'ai :

M en B, m en A, T=la tension de la corde et a(x) = angle variable ( initialement

arctg(3/7) )

puisque la corde est considérée de masse nulle et inextensible, la tension T y est partout la même

en B : F = Mx"-Tcos(a(x)) en projetant sur l'horizontale

en A : 0 = my"-T

Eliminons T :  T=my" => Mx" - m.cos(a(x)).y" = F (Expression E)

et analysons à t=0

tga = 3/7 => cos(a)=1/rac(1+tg²(a))=7/rac(58)

y"(0) = = f"(0).(x'(0))² + x"(0).f'(0)

or à t=0, x'(0)=0 et f'(0)=7/rac(58) => y"(0) = (7/rac(58)).x"(0)

on peut donc écrire y"=(7/rac(58))x"

l'expression (E) devient :

x" = F/( M - m(7/rac(58))(7/rac(58) ) => x" =  F/(M - 49m/58)

d'où y"=(7/rac(58))x" => y" = (7/rac(58))F/(M - 49m/58)

et T = my" => T = (7/rac(58))mF/(M - 49m/58)

Sans conviction complète (je ne suis pas à l'aise avec le passage à t=0 des conditions initiales, le fait que l'angle soit fonction de x et le fait d'avoir trouvé une tension de corde aussi élevée...)

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par kyrandia (invité)re : Les chariots.*** 03-10-05 à 23:51

perdubonjour,

je dirais un peu au pif :

- mAa2= T
- mBa1= F - T*cosA

sachant que a1=a2 (même accélération)
et que tanA=3/7

T=F/(mB/mA+cosA) avec A=23,198°
donc T=90,941 N

a=T/mA=1,01 m/s²

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Les chariots.*** 05-10-05 à 11:37

Enigme clôturée.

J'avais vu ce beau petit problème posé sur le site de Cyberpapy, il m'avait bien plu et je l'ai donc proposé ici en énigme.

Certains avaient demandé d'avoir de temps en temps des énigmes un peu plus corsées, mais ils n'ont pas tenté leur chance ici.

Bravo en tous cas à ceux qui ont répondu et même à ceux qui se sont trompés.


Posté par
borneo
re : Les chariots.*** 05-10-05 à 12:16

Moi, je n'ai même pas essayé, car je n'ai pas compris d'où partent les chariots. Qui peut me dire où est le point zéro ?

Posté par philoux (invité)re : Les chariots.*** 05-10-05 à 12:20

perduArggggg... : un signe + transformé en - :
...en B : F = Mx" + Tcos(a(x)) en projetant sur l'horizontale...

Content tout de même d'avoir planché même le est à la clé

Merci pour cette belle énigme et chapeau à Nofutur2 et piepalm

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Les chariots.*** 05-10-05 à 12:55

Salut bornéo,

Les chariots sont au départ immobiles sur 2 quais horizontaux situés à des altitudes différentes comme sur le dessin.

La situation est imposée par le dessin.

A l'instant t = 0, on applique la force F comme indiqué et les chariots vont donc démarrer avec une certaine accélération, accélération qui était demandée. (plus la tension dans la corde).

Il fallait déjà se rendre compte que les dépacements, les vitesses et les accélérations des 2 chariots n'étaient pas les mêmes...

C'était une application assez classique mais beaucoup éprouvent des difficultés à mettre en équation un problème mécanique même simple...
Tu as pu le constater par le nombre de personnes qui ont tenté leur chance.
De là ma question (je vais ramasser des volées de bois vert ):
A quoi servent les mathématiques sinon à résoudre des problèmes concrets ?




Posté par
manpower
re : Les chariots.*** 07-10-05 à 21:30

Bonsoir,
En avant pour la volée de bois vert...

"A quoi servent les mathématiques sinon à résoudre des problèmes concrets ?"

Honteux, ça ! Mais A RIEN, bien sûr... c'est juste pour la beauté.
Une belle démonstration se contemple comme une oeuvre d'art.
Et puis les mathématiques représente la quête de la vérité absolue...

Bref, je n'aime vraiment pas les problèmes trop orientés sur la physique.
Du moins, je trouve cela tout aussi amusant et distrayant que ceux purement mathématique ou logique mais j'avoue mon incompétence à les résoudre (malheureusement). Par ailleurs, il en faut pour tous les goûts évidemment.
Je me suis vraiment beaucoup amusé avec le premier toboggan à glaçon (une de tes passions?) même si j'ai récolté un .

Tout ça pour féliciter tous les participants
et J-P bien sûr pour sa productivité et l'originalité de ses énigmes.

ENCOOOOOOORE !. Bravo et Merci.

Posté par
borneo
re : Les chariots.*** 07-10-05 à 23:07

Bonsoir Jp, merci pour tes explications. Les formules de physique sont pour moi du passé très lointain... je viens de réaliser qu'une accélération est une constante, contrairement à la vitesse. Je me souviens aussi de la chute libre, et des tp qu'on faisait au lycée. Etrangement, la physique me semble plus abstraite que les maths...

C'est parce que les deux trajectoires ne sont pas parallèles que les accélérations ne sont pas égales ?

Posté par
piepalm
re : Les chariots.*** 08-10-05 à 08:23

gagnéLes trajectoires sont parallèles! Si les accélérations ne sont pas égales, c'est que l'angle du cable au niveau de la poulie va s'ouvrir, donc la longueur de la projection horizontale du cable va grandir et le décalage horizontal entre les deux chariots augmenter

Posté par
Nofutur2
re : Les chariots.*** 08-10-05 à 09:43

gagnéD'après les équations mathématiques des accélérations et de la tension, on peut dire qu'au cours du mouvement :
- l'accélération de B va diminuer. En effet, la tension du fil va freiner B de plus en plus (augmentation du module de T et ouverture de l'angle de la poulie)
- l'accélération de A, et la tension T, qui sont proportionnels, vont augmenter (ouverture de l'angle de la poulie).

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 19:09:05.
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