b.Montrer que :  E  ;  0E

Réponse : *  si on choisit (a, b)=(1; 0), il vérifie les propriétés définissant E, donc E.

  * si  a=b=0 on aurait  0+0.7= 0 vérifie en partie E mais on a une conjonction : 0²-7.0²=01, donc la conjonction est fausse . conclusion : 0E

c.Montrer que :  x E : 1/x   E.
d. Soit x E, montrer que (n* ) xⁿE.

e. Soit x =a+b7 un élément de E  tel que :  a0, montrer que :  x0b>0.

pour ces 3 dernières questions j'ai essayé mais je n'est pas pu.
  Merci d'avance de m'aider .

Bonjour,

c. Utiliser la quantité conjuguée ...
d. Développer et regrouper les termes
e.
Pour le sens "<=" c'est immédiat

J'ai peut-être raté quelque chose mais le sens "=>" me paraît faux car si x>0 et que b>0:
Alors x=a+b7 avec a²-7b²=1

Soit y=a-b7. Alors yE et xy=1, donc x et y sont de même signe, donc y>0. Pourtant y=a+c7 avec c=-b (< 0)

Merci beaucoup.
Je me remets au travail.

Bonsoir,

pour la question d) , on peut faire un raisonnement par récurrence

Rebonsoir,

pour e) , l'implication directe  est fausse (prendre x=1 )

Bonsoir .
Merci à toutes et à tous .
J'ai compris que l'équivalence à montrer pour la question e est fausse dans le sens direct; je vous en remercie.
Mais mon problème est toujours là pour questions : c, d  et e .
Pardon  encore .

Bonjour,
Pour c), je répète et complète l'indication de thetapinch27 :

@bouchaib,
La question e) est fausse. Est-ce la dernière de l'exercice ?
Les prochaines fois, donne l'énoncé en entier dès le premier message.
On verra mieux "l'esprit de la chose".
Et pour des îliens intéressés par la recherche de l'exercice, c'est plus agréable de commencer par lire tout l'énoncé sans lire les réponses.

bonjour et merci.
c'est ok.

e) est la dernière de l'exercice.

Réponse de la question d) :
On a  x E x=a+b7 et (a-b7)(a+b7)=1 .
(a-b7=(1/(a+b7) )= 1/x

  a-b7=1/x E aussi car on peut l'écrire sous la forme 1/x  = a+c7, avec c =-b , c'est donc un nombre de E.
Merci d'avance.

Merci.

Au temps pour moi :

a'+b'7= 1/x =a-b7( car  1/x  = 1/(a+b7) et on rend le dénominateur rationnel nous aurons  l'égalité sus-indiqué).
Donc a'= a ;  b'=-b , comme a et b  sont   de Z  car x  appartient à E  a' et b' le sont aussi.
Et donc C.Q.F.D.

Merci.

J'aimais bien ta manière de démontrer 1/x = a - b7 à partir de a² - 7b² = 1

Si tu poses ensuite a' = a et b' = -b, dire que a' et b' sont dans ne suffit pas pour conclure que 1/x est dans E.
J'ai parlé d'une égalité à vérifier.

Merci beaucoup.
Et donc mes ressources sont épuisées pour répondre à cette d).
Merci par avance de me débloquer.

Quelle égalité as-tu vérifiée pour c) ?

Pour d), développe (a+b7)(c+d7) où a, b, c et d sont des entiers qui vérifient a² - 7b² = 1 et c² - 7d² = 1.

Je ne serai pas disponible demain.
Bonne recherche.

Merci  .
Très bonne reprise du travail.

Pardon j'ai voulu parler de c) , j'ai parlé par erreur de la question suivante "d".

Bonjour .
Pour la question e) est fausse. J'en suis convaincu.
Mais pour c) et d) je n'ai pas su .
Merci de me débloquer.

Pour la question d), il suffit de répondre à la question pour n = 2. Ca se généralise aisément par récurrence.

Pour la question c), c'est comme il t'a déjà été indiqué, et c'est le même calcul à la base que pour la question d en fait.

(a+b*sqrt(7)) * (c + d*sqrt(7)) = (un rationnel) + (un rationnel) * sqrt(7).

La condition sur a² - 7b² qui définit E permet de remplacer le mot rationnel par le mot entier, dans le cas où c + d*sqrt(7) = 1/(a + b*sqrt(7)).

Dans le cas où c = a et d = b, (a² + 7b²)² - (a²-7b²)² = ?

*_{Coquilles corrigées}*

(a+b*sqrt(7)) * (c + d*sqrt(7)) = (un rationnel) + (un rationnel) * sqrt(7).

Petite coquille, c'est évidemment un c et pas un x

Et il y en a une autre, désolé du triple post, je ne suis pas bien réveillé apparemment, même s'il est 15h

(a² + 7b²)² - (a²-7b²)²

C'est un moins qui est entre les deux carrés, et non un plus

merci.

Bonsoir,
@bouchaib,
Pour c),tu étais à un cheveu.

Citation :
On a x E x=a+b7 et (a-b7)(a+b7)=1 .
(a-b7=(1/(a+b7) )= 1/x

a-b7=1/x E aussi car on peut l'écrire sous la forme 1/x = a+c7, avec c =-b , c'est donc un nombre de E.

Merci.

Merci

@Ulmiere,
J'ai corrigé tes coquilles ; mais je ne comprends pas ton message.
Pourquoi parler de rationnels ?

Merci.
Je comprends bien .

Je te remercie Sylvieg

Ce n'est pas très clair et effet, je parlais de rationnel parce que le calcul de 1/(a + b*sqrt(7)) en utilisant les quantités conjuguées fait apparaître des rationnels qui deviennent entiers quand a^2 - 7b^2 = 1.

Pour le reste, le calcul en utilisant une identité remarquable et en mettant un 7 en facteur donne la preuve pour le cas n=2.

Pour l'hérédité, c'est une technique d'exponentiation rapide qui permet de conclure par récurrence forte. Mais au final ça va peut être plus vite d'attaquer directement avec le binôme de Newton et de grouper les puissances en fonction de leur parité

@Ulmiere
D'accord pour l'histoire des rationnels
Par contre, pour d), je pense que le plus rapide est de commencer par traiter le produit xy avec x et y quelconques dans E.
Caché derrière cet exercice il y a les équations de Pell Fermat que tu connais sans doute.

@bouchaib aussi,
Je trouve dommage de se contenter au début de l'exercice d'exhiber 1 comme élément de E.
Ce n'est pas insurmontable de poser une question qui permet de trouver un autre élément de E.
Par exemple en démontrant que l'entier a est de la forme 7q 1, puis testant de petites valeurs de q.