J'oubliais : on blanque ou pas, comme on sent.
Comme d'habitude, amusez-vous

Bonjour,

j'avais il y a peu fait une applet de construction du centre et de l'axe d'une similitude inverse dans le cas le plus général

j'ai eu un mal de chien à la retrouver dans mon paquet d'applets Geogebra, pourtant bien trié par rubriques

le fait que ici AB // A'B' (et O = AA' BB' est déja tracé) simplifie un peu car certains points étant dans ce cas rejetés à l'infini, il suffit de tracer une parallèle.

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D symétrique de B par rapport à A
I=DB' AA' (donc avec IA'/IA =-A'B'/AB = -k)
parallèle à AB en I est l'axe
S (alias _-) centre de la similitude inverse= intersection de avec la perpendiculaire à par O

P' image d'un point P quelconque par la symétrie / (P1) suivie de l'homothétie de centre S et de rapport k
ou l'inverse d'ailleurs ce produit étant commutatif

PS : je vois qu'on est encore sur la même page du Lebossé Hemery et celle d'avant..
dans le LH, la droite OS est le deuxième axe, l'axe "négatif" '
la même similitude inverse est le produit de Sym() o Homo(S, k) = Sym(' ) o Homo(S, -k)

Bonjour mathafou,

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Voici ma propre construction immédiate avec les  points de départ et la parallèle à passant par .
Les deux axes (rectangulaires) figurent en rouge.

J'ai une justification directe de cette figure. Les preuves (diverses)  m'intéressent.
Est-il encore utile de blanquer ?

Bien sûr ta construction est tout à fait correcte !

pour blanquer, je ne sais pas si d'autres cherchent ou pas ...

effectivement la tienne est plus rapide pour trouver un point I de l'axe par des points déja existant plutot que de rajouter mon point D
ça revient au même vu que cette droite passe par les points divisant AA' et BB' dans le rapport k, comme dit dans le LH sans qu'il précise comment le construire explicitement .
je cite : la droite lieu des points divisant le segment PP' de deux points homologues dans le rapport k
avec le signe + ou - selon que c'est l'axe ou '

dans ma construction O' et les triangles ne servent à rien, c'est juste pour illustrer la similitude (= conséquence de la construction)

Bonsoir,
Une justification de la présence de _ sur la perpendiculaire à (AB) issue de ₊ :
(s₊)^-1os_ est une similitude indirecte de rapport 1 et de points invariants A et B.
C'est donc la réflexion d'axe (AB) notée s_(AB).
s_ = s₊ o s_(AB).
_ et son symétrique par rapport à (AB) doivent être alignés avec ₊.

Le Lebossé Hémery chapitre 246 commence par construire l'axe et le centre comme suit,



I défini par
[ c'est à dire I divise AA' dans le rapport -k ]
est défini comme passant par I et tel que (AB, ) = (, A'B')

est par définition le centre de l'homothétie qui transforme AB en A₁B₁ où A₁B₁ est le symétrique de A'B' par rapport à
[ c'est à dire intersection de AA₁ et BB₁ ]

comme est aussi sur l'axe ' obtenu de même avec I' défini par , j'en ai déduit ma construction sans avoir besoin de construire A₁B₁ ni les cercles cités dans L.H. la page suivante (qui sont tes cercles d'Apollonius).
dans le cas général où AB et A'B' sont quelconques (pas parallèles)



I et J qui divisent [AA'] dans le rapport k = A'B'/AB sont construits par une construction de collège (de l'époque ...) :
I intersection de (AA') et (B'D')
J intersection de (AA') et (B'D)
avec AD = AD' = AB et parallèles à A'B'
est la parallèle passant par I à la bissectrice intérieure de (AB), (A'B')
' la perpendiculaire par J à
l'intersection de et '

Bonjour,
Une figure pour une construction du centre que j'ai noté X.
Le point O est le centre de la similitude s₊
La droite (OK) est perpendiculaire à la droite (AB).



Le point X est invariant par s₊ o s_(AB) , c'est à dire par s_ .
Se démontre en utilisant le point Y symétrique de X par rapport à la droite (AB).

Bonjour à toutes et à tous,
D'abord, désolé Sylvieg : je n'avais pas vu ton message hier à 19h17. J'avais aussi fouiné dans cette direction mais avec .
Ton dernier message met un point final à l'affaire

>>mathafou
Je n'aime pas la construction du LH dans le cas général. Affaire de goût sans doute. J'en ai une autre à mon sens plus esthétique avec une figure extrêmement riche que je trouve "extraordinaire".
La poster ici ?

la "construction" du LH est surtout une figure support des preuves et discussions qui suivent.

une construction "propre" est laissée à l'initiative du lecteur à partir des propriétés qui y sont énoncées :

- Les axes sont les lieux des points P divisant les segments de points homologues M,M' dans le rapport k
- ils sont perpendiculaires et se coupent en le centre
- leurs directions sont celles des bissectrices de deux droites homologues (AB) (A'B')
- le centre appartient aux cercles lieux des points dont le rapport des distances à deux points homologues est égal à k
- il est aussi sur les droites lieux des points dont le rapport de distances à deux droites homologues (AB) (A'B') est égal à k

après à chacun de choisir les propriétés qui lui conviennent pour baser sa propre construction.

"La poster ici ?"
bien sur !

Rebonjour,

Tentative : (AB) et (OH) ?

Bonjour,
On suppose donc que les droites et sont sécantes en .
Désolé pour la complexité (apparente) de la figure. Quelques commentaires suivent pour la comprendre sans prétendre démontrer quoique ce soit.
Les deux cercles sont inutiles. Ils ne sont là que pour rappeler la construction classique du centre de et faire éventuellement le lien avec d'autres aspects de la figure.


-La droite (voir les 4 angles droits pour sa construction) est la droite des "divisions proportionnelles" selon le LH, évoquée par mathafou au dessus.
  La projection orthogonale de sur cette droite est le centre . Cette droite passe par

- Les restrictions de et à la droite sont identiques. Leur "graphe" est la droite (voir sa construction avec des parallélogrammes).
On a par exemple ,   et
Elle passe aussi par

- Les droites enveloppent la parabole de foyer tangente en à la droite et en à la droite
Sa directrice est la droite (symétriques de par rapport à et )
Cette directrice passe par

On a donc 3 droites concourantes en . C'est plus qu'il n'en faut.
Les axes de sont les bissectrices de l'angle formé par les droites et .
Ce sont aussi les deux tangentes à la parabole issues de

Je crois avoir signalé le principal.
_{J'aime beaucoup cette figure}

Oui mathafou, j'avais coupé la phrase de l'énoncé initial :

Citation :
est caractérisée par son point fixe et ses axes où elle se réduit à des homothéties de rapport

à Sylvieg : voir ma dernière figure
le centre de l'homothétie H telle que la similitude inverse s- = Sym(AB) o H n'est pas sur (AB)

or c'est la définition de l'axe d'une similitude inverse :

la similitude inverse est produit d'une symétrie par rapport a cet axe et d'une homothétie de centre sur l'axe

à lake
superbe figure mais qui va bien au delà de la question posée : construction des axes et du centre d'une similitude inverse.

on notera en particulier une apparition du dual du théorème de Chasles Steiner :
étant donné une homographie entre deux droites (d) et (d'), l'enveloppe des droites joignant deux points homologues M, M' est une conique.

ici l'homographie est une simple transformation affine (elle conserve les milieux)
on ne va pas d'avantage développer ce point ici

On peut tout de même ajouter que l'axe de l'homographie en question est le "graphe"