Niveau logiciels

les Nombres de Fermat

Posté par
HMS92 28-04-23 à 16:39

Bonjour,
je suis un petit curieux mais je ne suis pas doué en informatique ceci dis je me suis amusé un peu avec une intelligence artificielle en presentant des probléme irresolu (d'apres wikipedia) et l'intelligence artificiel a trouvé un resultat j'aimerais savoir si c'est vrais ou bien elle dis n'importe quoi (c'est ce que je pense) mais bon je n'ai pas les competence en informatique pour l'affirmé alors voici :

Les nombres de Fermat sont de la forme 2^(2^n) + 1, où n est un entier positif. Les premiers nombres de Fermat sont :

F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
F5 = 4294967297
F6 = 18446744073709551617
F7 = 340282366920938463463374607431768211457

Les nombres de Fermat F0, F1, F2, F3 et F4 sont tous premiers, mais pour n > 4, chaque nombre de Fermat est composé.

En effet, pour n > 4, on peut écrire F_n = (2^2)^(2^(n-2)) + 1. Comme 2^2 = 4, on peut écrire F_n = (4)^(2^(n-2)) + 1. On peut ensuite factoriser cette expression comme suit :

F_n = (2^(2^(n-2)) + 2^(2^(n-2-1)) + 1) * (2^(2^(n-2)) - 2^(2^(n-2-1)) + 1)

Les deux facteurs de droite sont des entiers strictement supérieurs à 1, donc F_n est composé pour n > 4.

j'aimerai savoir si tout cela est correcte ou est ce que c'est n'importequoi

Posté par re : les Nombres de Fermat 28-04-23 à 16:40

je voulais dire que je ne suis pas doué en mathematique...

Posté par re : les Nombres de Fermat 28-04-23 à 19:44

salut

tu appliques simplement l'identité remarquable   $x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2$

où l'on reconnait à nouveau l'identité remarquable   $a^2 - b^2$

et il suffit de l'appliquer à     $x^4 = 2^{2^n} = (2^{2^{n - 2}})^4$

mais je ne vérifie pas tes calculs ...

à toi de voir si tu n'as pas fait d'erreur d'exposant

Posté par re : les Nombres de Fermat 28-04-23 à 20:58

Bonjour,

2x² n'est jamais un carré (en nombres entiers)

$F_n = \left(2^{2^{n-2}} + 2^{2^{n-2-1}} + 1\right) \left(2^{2^{n-2}} - 2^{2^{n-2-1}} + 1\right)$ est faux

il suffit de remplacer n par quelques valeurs numériques pour s'en convaincre
n = 5 :

$2^{2^{n-2}} + 2^{2^{n-2-1}} + 1 = 2^8 + 2^4 +1 = 273 \\ 2^{2^{n-2}} - 2^{2^{n-2-1}} +1 = 2^8 - 2^4 +1 = 241$
et $273*241 = 65793 \ne 2^{32}+1 = 4294967297$
(qui est d'ailleurs 641*6700417)

et puis écrire n-2-1 au lieu de n-3 ... bof ...

et puis Fermat prétendait que tous les nombres de la forme $2^{2^n} +1$ sont premiers ...
il avait tort, mais on ne sait toujours pas (prétendue IA ou non) combien il y en a, si la liste s'arrête à F4 ou pas, même si on n'en a jamais trouvé d'autres.
et croire que ça peut se résoudre en quelques lignes de calcul est une pure utopie complète.
mais on ne va pas t'empêcher de rêver non plus ...

_{(edit : correction de quelques fautes de copier coller dans le code LaTeX)}