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les nombres de Mersenne

Posté par Profil mimimiki 28-01-17 à 18:15

bonsoir a tous, j'ai un exercice de spécialité a faire  sur les nombres de Mersenne et je rencontre quelques difficultés. Je vous mets l'énoncé en dessous avec ce que j'ai fait.

Pour n1 ,le nième nombre de Mersenne est le nombre : Mn=2^n-1

1) Quels sont les nombres premiers parmi les nombres de Mersenne Mn pour n6 ?
Pas de soucis pour cette question :
- pour n=1 ; M1=1
- pour n=2; M2=3  premier
- pour n=3; M3=7 premier
- pour n=4; M4=15
- pour n=5; M5= 31 premier
- pour n=6; M6=63

2) n1  x^n-1 = (x-1)(x^n-1+x^n-2+...+x+1)
pas de soucis je développe et je tombe sur x^n-1

3) montrer que si n n'est pas premier alors le nombre de Mersenne ne l'est pas non plus. En déduire que si Mn est premier alors n est premier.
je ne sais pas comment le démontrer car je ne peux pas me baser sur des conjecture

4) le réciproque est-elle vraie ?
5) soit a et n deux entiers tels que a2 et n2. montrer que si a^n-1 est premier alors nécessairement a=2 et n est premier

merci de m'aider pour les trois dernières questions. Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 18:33

Bonjour,
Pour 3) : 2pq - 1 = (2p)q - 1
Puis utiliser 2) en remplaçant n par q .

Pour les exposants, il y a un bouton X2 sous le cadre où l'on écrit

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 18:43

Sylvieg @ 28-01-2017 à 18:33

Bonjour,
Pour 3) :  2pq - 1   =   (2p)q - 1
Puis utiliser 2) en remplaçant  n  par  q .

Pour les exposants, il y a un bouton  X2  sous le cadre où l'on écrit  


Mais exposant pq cela represente quoi? je comprends pas

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 18:45

Si n n'est pas premier, on peut l'écrire comme un produit de deux entiers supérieurs à 1.

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 18:47

et donc ? je comprends ce que vous me dites mais cela ne m'aide pas

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:06

n = pq donc 2n - 1 = 2pq - 1 = (2p)q - 1

xq-1 = (x-1)(xq-1+xq-2+...+x+1) à utiliser avec x = 2p

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:07

mais pourquoi n=pq ? d'où on peut ecrire que n=pq

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:09

Citation :
Si n n'est pas premier, on peut l'écrire comme un produit de deux entiers supérieurs à 1.

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:10

mais cette hypothese n'est pas posee dans l'enonce

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:12

Citation :
montrer que si n n'est pas premier alors

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:21

ok il y a ecrit ca mais pas ca :

Sylvieg @ 28-01-2017 à 19:09

Citation :
Si  n  n'est pas premier, on peut l'écrire comme un produit de deux entiers supérieurs à 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 28-01-17 à 19:39

Qu'est-ce qu'un nombre premier ? Un nombre qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui même.
Soit n > 1 .
Si n non premier, il admet au moins un diviseur autre que 1 et lui même.
Donc si n non premier, on peut utiliser p , distinct de 1 et de n , qui divise n .
On a alors n = pq avec p et q distincts de 1 .

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 09:58

n'en je comprends toujours pas

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 10:24

Il y a trois catégories de nombres entiers naturels :
L'entier 1 .
Les nombres premiers.
Les nombres composés qui peuvent s'écrire comme un produit de deux entiers distincts de 1 .
Tu peux faire une recherche avec "nombre entier composé".
Tu peux aussi regarder dans ton cours et dans ton livre.

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 10:31

vous ne m'aidez pas du tout là avec votre exposant pq, je suis pas prete de finir mon exercice

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 14:32

Mn = 2n - 1

Si n = pq , alors Mn = (2p)q - 1 de la forme xq-1 = (x-1)(xq-1+xq-2+...+x+1) .

C'est ce qui permet de démontrer que si n n'est pas premier alors Mn n'est pas premier.

Je ne peux pas faire plus clair.

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 15:51

Mais le p il devient quoi ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 16:05

Il ne devient rien ; il est dans x = 2p

Mn = (2p)q - 1 = ( 2p-1 ) ( (2p)q-1 + (2p)q-2 + ... + 2p + 1) .

Posté par Profil mimimikire : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 16:41

et pourquoi x= 2^p et pas pq?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : les nombres de Mersenne 29-01-17 à 20:17

Pour pouvoir utiliser xq-1 = (x-1)(xq-1+xq-2+...+x+1) .

Peut-être qu'avec un exemple ce sera plus facile à comprendre ?
Sinon laisse tomber cette question et essaye de traiter la fin de 3) et 4)

21 = 73
M21 = (27)3 - 1 = ( 27 - 1 ) ( (27)2 + 27 + 1 ) . M21 n'est donc pas premier.

Dans cet exemple p = 7 , q = 3 et x = 27



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