Bonjour  à tous,

la parabole, c'est avant tout le résultat d'une propriété géométrique. Nous allons illustrer ça et résoudre des problèmes du second degré du lycée... Autrement.
Cette énigme-exercice est dédiée à la parabole, et aux élèves du lycée, mais tout le monde est le bienvenu pour participer (je ne me fais pas d'illusion, je ne pense pas qu'un élève participera )

Soit F un point, appelé foyer, de coordonnées , où et sont des réels.
Soit une droite (d) appelée directrice d'équation où k est un réel différent de .

On note l'application qui à deux points du plan associe la distance, positive, entre ces deux points.

Pour tout x réel, on pose le point et le point qui vérifie

En d'autres termes, le point M est situé afin qu'il soit à la même distance du foyer et de son projeté sur la directrice.

La courbe décrite par le point M lorsque x varie, est appelée la parabole de foyer F et de directrice (d).

On pose l'application qui à tout réel associe . C'est-à-dire que décrit l'ordonnée du point M lorsque x varie.

Questions :

Sans calcul, déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole de foyer et de directrice connus.

Montrer que pour tout ,
En déduire que l'ordonnée du point M, décrivant la parabole, vérifie une équation du second degré et réciproquement, prouver que toute équation du second degré décrit une parabole (l'objet tel que défini précédemment).

On pose . Résoudre l'équation , en fonction de et en discutant selon la valeur de en s'aidant de la forme présentée en . Comment pourrait-on nommer autrement , de manière générique ? ne dépend pas de , est-ce surprenant ?

Soit une parabole P de foyer et de directrice (d) d'équation . Déterminer, s'ils existent, le ou les points d'intersection de P avec l'axe des abscisses. Trouver les coordonnées du sommet de P et enfin, dire si cette parabole est "tournée vers le haut" ou bien "tournée vers le bas".

Soit, pour tout x réel, la fonction g qui vérifie . Remodelez cette expression afin qu'elle ressemble à la forme présentée en , en déduire les coordonnées du foyer et l'équation de la directrice de la parabole associée à cette équation. Puis, en utilisant les résultats trouvés en , résoudre .

On ne m'a jamais parlé au cours de ma scolarité de cette façon de définir la parabole. J'ai retrouvé ces résultats moi-même, ils sont probablement tous connus depuis longtemps, mais j'espère que cela vous plaira.