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Niveau terminale
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Les primitives

Posté par
Nelcar 09-02-21 à 23:42

Bonsoir,
voici un exercice que je dois faire pour demain A.M.
déterminer une primitive sur R de chacune des fonctions f, g, h i définies sur R par :
1) f(x)=3x²(33+1)²

j'ai trouvé F(x)= (x3+1)3

2) g(x) = x/(x²+1)
j'ai trouvé G(x)=1/2ln(x²+1)

3) h(x)=e-x+3
j'ai truvé H(x)=-e-x+3

4) i(x) =3x/(2x²+7)
j'ai trouvé I(x)=3/2(2x²+7)

je mettrai le détail si j'ai faux

MERCI

Posté par
FerreSucrere : Les primitives 10-02-21 à 08:07

Bonjour La deuxième et la troisième sont bonnes les autres j'ai pas vérifié je dois aller en cours x) bonne journée

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 08:28

Bonjour,
si quelqu'un peut vérifier mes résultats, ce serait sympa

MERCI

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les primitives 10-02-21 à 09:00

Bonjour,
1) est faux à priori. Une coquille dans l'écriture de f(x).
4) est bon. Bien écrire \; I(x) = (3/2)(2x²+7) .

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 10:07

Bonjour à vous tous,

la 2,3 et 4ième sont bonnes c'est bien ça
donc je reprends la première :
f(x)=3x²(x3+1)²
u(x)= x3+1    u'(x)=3x²
3/3x²*3x²(x3+1)²
je trouve F(x)=1/3(x3+1)3

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 10:34

Bonjour

une primitive de u^n u' est \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}

f(x)=3x^2(x^3+1)^2  f = u'u^2

F(x)=\dfrac{1}{3}(x^3+1)^3

Qu'est-ce que 3/3x^2? avant-dernière ligne

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 11:03

bonjour hekla,
j'avais cet exercice à faire pour 12 h car j'avais cours de maths de 12 à 13 mais je suis souffrante donc pas d'école. Je viens de faire un test PCR. Donc pour l'instant pas eu d'explication de vive voix du prof donc avec le livre pas facile

j'avais compris (d'après un exercice qu'un copain de classe m'avait envoyé)
que l'on devait faire pour avoir u' devant donc comme u' est 3x²
donc je multipliai  avant le 3x² par 3/3 pour dire que ça s'annule
je ne retrouve plus ce que j'avais fait.

OK j'ai compris ce que tu as mis , mais petite question quand savoir que c'es u'u², c'est bien lorsque l'on a un produit
pour l'instant mon problème est de voir à quoi correspond exactement la F

MERCI,

les 3 autres étaient bonnes ?

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 11:22

Pour les trois autres, ils vous avaient dit  oui

f(x)= 3x^2(x^3+1)^2


première remarque  on a un produit
  deuxième remarque on a un exposant  donc on pense directement à u'u^n

on va alors poser u(x)=x^3+1 c'est -à-dire  l'expression qui est élevée à une certaine puissance

on dérive  donc u'(x)=3x^2 Là plus rien d'autre à faire  que d'intégrer on a bien la bonne formule

on a F(x)=\dfrac{1}{3}(x^3+1)^3

sinon un petit travail supplémentaire en jouant sur les coefficients

Vous auriez eu x^2(x^3+1)^2   comme la dérivée de u est 3x^2 on aurait écrit 1 comme \dfrac{3}{3}

ce qui permet de bien faire apparaître u' x^2(x^3+1)^2=\dfrac{1}{3}\underbrace{3x^2}_{u'}(\underbrace{x^3+1}_u)^2

On est alors ramené au problème précédent


Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 11:27

Re,
oui pour tout sauf pour le 1/3   c'est là que je coince

MERCI

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 11:30

Bonjour Nelcar,

Dans ce genre d'exercice où on te demande de calculer une primitive F de f, il est facile de vérifier que ton F est le bon.
Il suffit de dériver F (que tu as trouvé) et de vérifier que tu retombes bien sur f.

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 11:33

Re,
je viens de voir ou j'avais mal fait. Mal mise la formule.

Merci (je vais mettre d'autres exercices)

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 11:40

C'est pourtant ce que vous aviez fait dans les autres exercices


Ce qui suit ne concerne pas votre exercice
je vous avais proposé x^2(x^3+1)^2

mêmes premières démarches u(x)=x^3+1\quad u'(x)=3x^2

si on a 3x^2(x^3+1)^2 pas de problème on sait faire F=\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}

  mais dans ce que je proposais on a 1 et non 3    on va tout simplement écrire 1 comme le quotient  d'un nombre par lui-même On  veut 3  donc 1=\dfrac{3}{3} ou 1=\dfrac{1}{3}\times 3

ce qui permet alors d'écrire x^2(x^3+1)^2=\dfrac{1}{3}\times 3x^2(x^3+1)^2

On a alors \dfrac{1}{3} u'u^2  Comme \dfrac{1}{3} est une constante cela ne pose pas de problème

on a \dfrac{1}{3}\bigg(\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}\bigg)

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 11:56

ok hekla,
mais là je viens de voir un autre exercice et je ne comprends pas d'où vient le 1/4

f(x)=ex(ex+4)3

u(x) =ex+4   u'(x)=ex

j'ai encore du mal, ça va mieux mais pas encore ça

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 12:05

C'est le même problème  


u(x)=\text{e}^x+4 \quad u'(x)=\text{e}^x

donc f =u^3u'  Une primitive est alors F = \dfrac{1}{3+1}u^{3+1}

c'est-à-dire F(x)=\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^x+4\right)^4

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 13:39

ok
ça commence à rentrer
un autre exercice que mon copain m'a envoyé mais je ne vois pas la suite de son exercice

g(x)=(2x-1)4  
u(x)=2x-1  u'(x) = 2

petite question donc je dois mettre 1/2 car j'ai u'(x)=2 c'est ça puis je fais
1/(4+1)   =1/5
(2x-1)4+1 ce qui donne
1/2*1/5(2x-1)5

mon problème que je rencontre c'est de trouvé comme ici le 1/2 est-ce que c'est ce que je pense ?

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 13:51

Oui c'est bien


g(x)=(2x-1)^4\qquad u(x)=2x-1\qquad u'(x)=2

g(x) =\dfrac{1}{2}\times 2(2x-1)^4\;\ g=\dfrac{1}{2} u'u^4

Il en résulte G(x)=\dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{1}{4+1}(2x-1)^{4+1}\bigg)

Le résultat est correct  un peu plus si vous aviez écrit \dfrac{1}{10}(2x-1)^5

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 13:55

Re,
je crois que je commence à comprendre
je vais mettre d'autres exercices pour voir.

Un GRAND    M E R C I

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 14:08

De rien

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 14:09

Re,
je refais les exercices d'hier fait en classe (vu mon absence)
là je comprends pas c'est :
f(x) = sin(x)cos(x)
d'après ce que j'ai vu je dois prendre pour u(x)= cos(x)   soit u'(x)= sin(x)

donc là j'applique u'u c'est ça
1/1+1   =1/2
u2 ce qui me donnerai
F(x)=1/2(cos(x)²

car après il a noté :
remarque
f(x) =sin(x)cos(x) et là il a pris u(x)= sin(x)

donc ma question est que faut-il prendre pour u(x) dans ce cas et pourquoi à votre avis le prof a fait noté ça

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 14:34

Parce que là on peut faire ce que l'on veut  

Attention il vous manque un signe -,

(\cos x)'=-\sin x

si on pose u(x)=\cos x alors u'(x)= -\sin (x)

on a alors -uu' une primitive est  - \dfrac{1}{2}u^2

f(x)=\sin x\cos x il en résulte F(x)= -\dfrac{1}{2}\cos^2(x)

autre possibilité u(x)= \sin x \quad u'(x)=\cos x   d'où F(x)=\dfrac{1}{2}\sin^2(x)

Comme \cos ^2 x+\sin^2 x=1 on a \sin^2x=1-\cos^2 x  d'où

F(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\cos^2x\right)= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2}\cos ^2 x

Les deux primitives ne diffèrent que d'une constante

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 14:42

Sur mon livre il est noté
u'cos(u)  P= sin (u)  ? et j'ai
u(sin(u)  P=-cos(u)

le prof a mis dans sa réponse pour le premier
u(x)= cos(x)  u'(x)= sin(x)  
F(x)=82cos(x)²

et dans le deuxième cas
u(x)= sinx   u'(x) = - cos (x)
F(x)=1/2 (sinx)²

MERCI de me dire ce qu'il est bon

je vais mettre un exercice que je viens de faire dans un autre sujet.

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 14:58

Une primitive de \cos x est \sin x

Une primitive de \sin x est -\cos x

Si l'on pose u(x)=\cos x \quad u'(x)= -\sin x   je maintiens le signe -

On a donc -u'u  une primitive est alors \dfrac{-1}{2}u^2 soit  \dfrac{-1}{2}\cos^2 x


Dans le second cas u(x)=\sin x  donc u'(x)=\cos x Il n'y a pas de signe -

On obtient alors  F(x)=\dfrac{1}{2}\sin ^2 x

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 15:15

petite explication
sur mon livre ils mettent
fonction f                       primitive F
u'cos(u)                                    sin(u)

u'sin(u)                                  - cos(u)

j'avoue que je suis perdue là;
je ne comprends pas car tu mets bien une primitive de cos x est sin x et pourquoi mettre un - après. Merci de m'expliquer

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 15:22

On veut faire apparaître uu'   car on sait alors qu'une primitive est \dfrac{1}{2}u^2

premier cas on choisit pour u(x) \cos x

par conséquent sa dérivée est bien -\sin x

on a alors \sin x \cos x = -\underbrace{-\sin x}_{u'}\underbrace{\cos x}_{u}

une primitive sera alors - \left(\dfrac{1}{2}\times\cos ^2 x\right)

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 15:56

Excuses moi hekla,
mais le problème pour moi c'est que le livre me met
u(x)cos(x) donc P)sin(x) et non le fameux -

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 16:05

Pouvez-vous recopier le passage  exactement   ?

Je ne vois pas ce qu'est u(x) ici  Il a bien dû être défini

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 16:09

sur ce site p 298
https://fr.calameo.com/read/00495697960bb761f1202

Fonction f                       Une primitive F
f(x)=cos(x)                      F(x)=sin(x)
f(x) sin(x)                         F(x)=-cos(x)

C'est mon livre de maths.

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 16:35

Vous n'auriez pas dû mettre le lien  Il est dit une primitive de u'\cos u$ est $ \sin u

ce n'est pas du tout ce que l'on a.  On a posé pour u(x) la fonction cosinus  on n'a pas pris le cosinus d'une fonction

on se ramène à quelque chose de la forme u'u et non pas u'\cos u

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 16:40

là j'avoue que je n'y comprends plus rien.
Je laisse tomber cet exercice, je verrai quand je retournerai en cours.

MERCI (j'ai mis d'autres exercices)

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 16:50

Dans l'exercice que vous avez proposé  les fonctions sont trigonométriques mais cela importe peu  on a une fonction et sa dérivée donc bien quelque chose de la forme uu'

on aurait 2x(x^2+1) le problème serait le même  u(x)= x^2+1,\  u'(x)=2x

donc bien de la forme u'u  qui donne alors comme primitive \dfrac{1}{2}u^2

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 17:14

déjà là j'ai du mal
ok pour le début
mais après pour la primitive
je ne comprends pas le (1/2)u²

j'aimerai avoir une explication sur le 1/2 car j'ai toujours ce problème pour trouver ce que je dois mettre.
Quant on a un quotient je crois que j'ai compris mais là un produit je ne sais plus
et pourquoi le ²

j'ai l'impression que je mélange tout

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 17:26

(u^2)'=2uu'  donc uu' =\dfrac{1}{2}\left(u^2\right)'

c'est souvent la même formule que l'on utilise  écrite avec beaucoup d'abus de notation

une primitive de u'u^n est \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}

Vous pouvez dans un premier temps dériver ce que vous avez trouvé  et comparer avec ce que vous avez
\bigg((\ln x)^2\bigg)'=2\times\dfrac{1}{x}\times \ln x


Si vous n'avez que \dfrac{\ln x}{x}   il faudra bien ne prendre que la moitié

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 17:38

(u²)' vient d'où ?

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 17:48

D'un exemple  ou  du tableau des dérivées

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 18:08

dans cet exemple, la primitive serait quoi ?

2x(x²+1)
u(x)= x²+1      u'(x)=2x

j'ai l'impression de ne plus rien savoir, j'en pleure même. Dur , dur, dur.....

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 18:34

Là c'est de la forme  u'u  donc une primitive est \dfrac{1}{2}u^2

soit \dfrac{1}{2} (x^2+1)^2

Faites une pause  vous êtes ici depuis ce matin  donc c'est normal de saturer  et à force de confondre  Bon courage

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 18:44

Bonsoir,

Pour Nelcar,
Retiens bien ce schéma qui montre la dualité primitive / dérivée :

Les primitives

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 18:45

Exemple :

Les primitives

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 18:46

Autre exemple (plus dur) :

Les primitives

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 18:48

Maintenant saurais-tu compléter ce qui manque dans le cadre de gauche ?

Les primitives

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 18:57

Et maintenant saurais-tu compléter le cadre de droite ?
A gauche on a x*(x3+1)

Les primitives

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 19:01

Le dernier est totalement différent des autres  une seule possibilité développer  et après une primitive

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 19:06

@hekla,
Si on a traité le post de 18h48, c'est facile de traiter celui de 18:57
C'est justement ce que je voudrais que Nelcar comprenne. C'est que dérivée et primitive marche de paire.

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 19:11

La dérivée de (x^3+1)^2 est 6x^2(x^3+1) de la forme 2u'u

on ne pourra jamais écrire x(x^3+1)  sous la forme uu'

Posté par
alma78re : Les primitives 10-02-21 à 19:23

@hekla, tu as raison, je suis allé trop vite.
@ Nelcar, rectification : A gauche on a x2*(x3+1)

Les primitives

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 20:36

Re,
Merci beaucoup pour tes petits schémas

donc la première case vide je pense que hekla a répondu
6x²(x3+1)  mais toute seule je n'aurai pas trouvé (c'est là mon problème je ne vois pas à quoi ça correspond)
comment faire pour savoir que c'est de la forme de 2u'u ? en appliquant cette formule j'ai trouvé le même résultat .

pour x²*(x3+1)
1/3x3 * x3 +1

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 20:55

Ce sont deux opérations réciproques l'une de l'autre  vous avez bien vu que de temps en temps on dérive pour récupérer une forme connue  

avec les polynômes  on peut développer si l'exposant n'est pas trop élevé et après utiliser

une primitive de x^n

D'abord regarder l'expression à une certaine puissance  on va la considérer comme u^n après on va dériver  x^3+1 a pour dérivée 3x^2 et on doit récupérer aussi l'exposant  pour avoir en fin de compte

nu^{n-1}u' si l'on n'a pas  ce n'est pas grave  c'est une constante donc on va pouvoir jouer avec

Non c'est un bloc on ne prend pas une primitive de chacun des morceaux  x^2(x^3+1) a pour primitive 1/3 \times \dfrac{1}{2}(x^3+1)

1/3 provient du morceau qui manque de la dérivée de x^3 et le 1/2 de ce qui manque de la dérivée de u^2

À force de faire des gammes, cela se fera facilement

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 21:05

Re,
que veux-tu dire par 1/3 provient du morceau qui manque de la dérivée de x3 et le 1/2 de ce qui manque de la dérivée de u²

je crois que cette partie me pose problème. Si tu peux m'expliquer ceci.  u² c'est quoi ?

MERCI

Posté par
heklare : Les primitives 10-02-21 à 21:19

dérivée de u^2 \ :\  2 uu'

dérivée de x^3+1 \:\ 3x^2

on a à déterminer la primitive de x^2(x^3+1)  

la dérivée de x^3+1  est 3x^2   on voit bien qu'il manque 3  donc

1=\dfrac{1}{3}\times 3  

Pour récupérer la dérivée de x^3+1  on va l'écrire \dfrac{1}{3}\times  3x^2

Une primitive de  u'u est \dfrac{1}{1+1}u^{1+1} soit \dfrac{1}{2}u^2

On combine le tout g(x)=\dfrac{1}{3}(3x^2)(x^3+1})  

G(x)= \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}(x^3+1)^2

Est-ce plus clair ?

Posté par
Nelcarre : Les primitives 10-02-21 à 21:48

C'est compris la première partie mais je bloque lorsque tu mets  :
1/1+1  .... normalement c'est 1/n+1..... pourquoi tu as mis 1 pour n tu l'as trouvé où ?

MERCI

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