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les suites
Bonjour,
exercice : on considère la suite numérique suivante,
a- montrer que pour tout n de N 1-un<0,
b- montrer que (un[sub]) est croissante,
c.- conclure que (u[sub]n) est convergent.
Réponse :
a-par recurrence on arrive à montrer que cette proposition est vraie.
b- montrons qu'elle est croissante :
on a un<1
un+1<1
donc -un >-1 et -un+1>-1
-un - (-un+1)>0 donc un+1-un>0
donc la suite (un) est croissante .
c. (un) est majorée par 1 et croissante, on en conclut que (un) est convergente.
Remarque si on opte par la méthode classique c'est à dire j'aurais je ne peux savoir le signe de un, alors que le signe de 1-u2n<0 et le dénominateur de ce rapport est positif donc je ne peux affirmer le signe du rapport par cette méthode classique et j'ai opté par celle donnée en b.
Merci par avance.
Bonjour
petit dépannage en passant
on ne voit pas ton raisonnement par récurrence, dangereux ça...car dès la 1re ligne de la question 2, c'est faux
pourquoi dis-tu que un < 1?
Bonjour,
Gros dépannage :
L'énoncé du a) est mal recopié : c'est 1-un > 0.
Et récurrence superflue pour le démontrer.
Quel est le raisonnement ici :
-un >-1 et -un+1>-1
-un - (-un+1)>0
Bonjour
Quel que soit entier naturel, nous avons :
En vertu du point a., ne savons-nous pas que quel que soit l'entier naturel
? Il reste à justifier que
quel que soit l'entier naturel
, le signe de
s'en déduisant.
bonjour,
a. pour montrer que 1-un>0, on recourt au raisonnement par récurrence :
Initialisation : on a u0=1/3 et 1-(1/3)=2/3>0
on suppose que pour n, 1-un>0 et montrons que 1-un+1>0 ,
Hérédité : on a ,
donc d'après le principe de la recurrence pour tout n on 1-un>0.
b. montrons que la suite (un) est croissante :
. le facteur (1-un)>0 d'après la réponse a le dénominateur est toujours positif reste à montrer le signe du produit un.(1+un).
pour cela utilisons le raisonnement par récurrence pour montrer que un>0 :
initialisation : u0=1/3 donc u0>0
supposons que la proposition est vraie pour n, un >0 et montrons qu'elle l'est pour un+1 :
le numérateur est de signe positif car 2 est positif un>0 d'après l'hypothèse . et aussi le dénominateur. donc pour tout n de N on un>0,
et par conséquent 1+un>0 d'où un+1-un>0,
conclusion la suite (un[sub]) est croissante.
c. Elle est majorée par 1 et monotone donc (u[sub]n) est une suite convergente.
Merci par avance.
salut
pour a il n'y a pas besoin de raisonnement par récurrence :
pour tout réel x : est positif
la récurrence n'intervient que pour la stricte positivité, ou encore que la suite ne prend pas la valeur 1 soit la non nullité du numérateur
le numérateur est de signe positif
le signe d'un nombre est + ou - et c'est un symbole et donc un nombre est positif ou est négatif
sinon le raisonnement est correct
monotone ne suffit pas il faut dire "monotone croissante" ou simplement "croissante
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