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Les tangentes sont toutes entières
salut,
voici un exercice assez facile que celui de la dernière fois.
Dans un triangle ABC, les tangentes des angles au sommet tg(A), tg(B) et tg(C) sont des nombres entiers positifs.
Combien y a-t-il de triangles de cette nature ?
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oui exactement, mais je veux une démonstration.
je connais une mais je veux savoir si il y a d'autre méthodes.
On peut remarquer que l'un des angles doit être inférieur ou égal à 60° or tan60°<2 donc le plus petit angle du triangle est arctan(1)=45° . L'un des deux derniers doit être inférieur à 68° or tan68°<3 et comme 45°, 45° , 90° est impossible le deuxième angle est arctan(2) et il ne reste plus qu'à calculer le troisième angle .
Imod
voici ma solution :
Dans tout triangle, on a donc la propriété que la somme des tangentes des angles au sommet est égale à leur produit.
On pose a= tg(A), b=tg(B) et c=tg(C).
Il s'agit donc de résoudre l'équation diophantienne a+b+c=abc avec a,b et c entiers positifs.
On note que le triangle ABC ne peut être ni obtus (l'une des tangentes serait négative, ce qui est incompatible avec a,b,c tous >0), ni rectangle (l'une des tangentes serait infinie), ni isocèle car on aurait et a<1 dès que b>2. Le triangle ABC a donc tous ses angles aigus et ses côtés sont tous inégaux entre eux. On peut donc prendre a < b < c
Comme a+b+c <3c, il en découle abc<3c ab<3. Les seules valeurs possibles de a et b sont a=1 et b=2 c=3.
On a donc tg(A)=1, soit A=45°, tg(B)=2, soit B=63,4349?° et tg(C)=3, soit C=71,5650?°.
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