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lien entre suite et fonction

Posté par
lonico 24-07-15 à 23:19

Bonjours
Ma question est simple :
Peut on affirmer que toute fonction peut être construite par récurrence (sous forme d'une suite) et que toute suite peut être décrite par une formule explicite (sous forme d'une fonction) ?

Merci d'avance

Posté par re : lien entre suite et fonction 25-07-15 à 11:27

Bonjour.

Citation :
Peut on affirmer que toute fonction peut être construite par récurrence (sous forme d'une suite)

La question ne fait pas grand sens.

Citation :
toute suite peut être décrite par une formule explicite (sous forme d'une fonction) ?

Oui, la fonction $f:n\mapsto u_{n}$

Posté par re : lien entre suite et fonction 25-07-15 à 17:17

Bon après-midi.

On peut essayer d'écrire sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$
la suite donnée par $u_n=\frac{n+2}{3n+1}$
ou celle-ci $v_n=\frac{1}{n}$

Le calcul de l'itérée $f o f o ... o f =f^{[n]}$
est explicite mais le plus souvent 'foisonnant',

Alain

Posté par re : lien entre suite et fonction 26-07-15 à 22:48

Je cherche à démontrer que : Pour toute fonction f il existe une suite (u_n) qui lui est qui équivalente et que pour toute suite (u_n) il existe une fonction f qui lui est équivalente.

Citation :
Citation :
toute suite peut être décrite par une formule explicite (sous forme d'une fonction) ?

Oui, la fonction f:n\mapsto u_{n}

En quoi cela démontre mon hypothèse ?

Posté par re : lien entre suite et fonction 26-07-15 à 22:53

Bonjour,

En termes communs, ton énoncé n'a pas de sens. Que veut dire pour toi "fonction équivalente à une suite" ?

Posté par re : lien entre suite et fonction 27-07-15 à 00:15

Bonjour

Tout dépend de ce que tu appelles fonction .... si tu parles de fonctions de $\N$ dans $\R$ , alors il y a bien équivalence, puisqu'une suite n'est jamais qu'une fonction de $\N$ dans $\R$ .... on note $u_n$ au lieu de $u(n)$ , mais sinon c'est la même chose.
Si en revanche tu penses à des fonctions de $\R$ dans $\R$ , alors il n'y a pas du tout équivalence : il existe de nombreuses fonctions qui coïncident sur $\N$ avec une suite donnée....

et définir par récurrence une fonction définie sur $\R$ : ça n'a strictement aucun sens ...

Posté par re : lien entre suite et fonction 28-07-15 à 11:56

Bonjour à tous,

Il me semble toutefois possible d'apporter un élément de réponse à ionico.

Dans les cas les plus simples la suite u_n , n entier positif,s'appuie
sur une fonction f, lorsque celle-ci est bijective (une image/une source,une source/une image)
et la fonction réciproque calculable,il est possible de déterminer une fonction
$m | u_{n+1}=m(u_n)$ .

Un exemple:
$u_n=\frac{1}{1+n} ,m(L)=\frac{L}{L+1}$ ,soit
$u_{n+1}=m(u_n)=\frac{u_n}{u_n+1}$

...

Un essai: $u_n=\sqrt{1+n^2} ,u_{n+1}=m(u_n) ,m = ?$

Alain