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liens entre a³+b³+c³+d³=0 et a³+b³+c³=0
Bonjour,
juste une question que j'aimerais vous soumettre. Là j'étais sur le problème a³+b³+c³+d³=0 , (a,b,c,d) ∈ ℤ⁴ . Et je me demandais s'il y avait un lien possible avec a³+b³+c³=0 , (a,b,c,d) ∈ ℤ³
Pour les quadruplets, une technique est de dire que:
_ v1=(3,4,5,-6) est solution
_ v2(x,-x,y,-y) aussi.
_ si on cherche les combinaisons linéaires solutions, soit v1 + t v2, on tombe sur t=(7x+11y)/(7x²-y²).
_ on obtient alors une paramétrisation par (x,y) de quadruplets solutions :
Si a³+b³+c³=0 est vrai, alors on doit tomber sur des occurences nulles. Mais ni 35x² +6y²+7xy=0 ni 42x² +5y²+7xy=0 n'ont de solutions.
Donc a³+b³+c³=0 n'a pas de solutions (!?)
Bon. Ca me paraît un peu léger de sauter le pas comme ça, mais y a-t-il un fond de vérité. Et un début d'une éventuelle preuve possible en passant par là ?
En vous remerciant.
salut
on peut se rappeler que
et que le facteur du second degré n'est pas factorisable (dans R)
il est donc évident que à permutation près par homogénéité de l'égalité tout triplet (0, x, -x) est solution de l'équation
ensuite le lien évident qu'il y a avec l'équation est que tous les quadruplets de la forme (0, 0, x, - x) ou de la forme (x, -x, y, -y) sont solution (toujours à permutation près ...
maintenant le pb est est-ce les seules ?
une somme de nombres positifs est positive donc on peut se poser les questions suivantes :
1/ avec c, d < 0 < a, b l'équation devient : (*)
traduction : un même entier s'écrit sous forme distincte de deux cubes ...
déjà trouver les entiers somme de deux cubes ce n'est pas facile et il n'y en a pas tant que ça mais en plus s'il faut qu'ils aient une deuxième écriture comme somme de deux cubes ...
2/ avec seulement d < 0 alors l'équation devient
à nouveau pas facile ...
enfin par homogénéité de l'équation on peut se contenter de chercher des solutions "primitives" : le pgcd de a, b, c et d est 1 ...
Merci pour vos réponses.
Effectivement, pas facile.
J'avais bien vu que (0,h,-h) était solution de a3+b3+c3=0 .
Mais vu qu'on commençait avait une première solution non symétrique pour a³+b³+c³+d³=0, alors peut-être cela donnerait-il quelque chose.
Si on cherche des solutions avec les 2 termes qui ne s'annulent pas en opposition (c=-d), ça donne .
Et alors les 2 premiers termes en opposition. ([/tex] ) . Mais ne donnent pas d'entiers
A priori fausse piste.
En vous remerciant!
Bonjour, (*)
pourquoi cet (*) ?
il y a de nombreuses solutions non triviales à cette équation dans
la plus célèbre (et la plus petite) est 93+103 =13+123 = 1729
elles sont certes assez rares, la suivante :
23 + 163 = 93 + 153 = 4104
etc 
OEIS A001235
PS : quant à a3+b3+c3 = d3 : OEIS A023042
PPS
il existe aussi des formules dues à J.P.M Binet pour générer une infinité de solutions dans Z à a3+b3+c3=d3 :
pour tout m, n de Z
a = 1 - (m-3n)(m²+3n²)
b = (m+3n)(m²+3n²) - 1
c = (m²+3n²)² - (m+3n)
d = (m²+3n²)² - (m-3n)
(non forcément réduites, et il n'est pas dit non plus que ce soient les seules)
mathafou : (*) parce que je pensais y référer par la suite ... mais bon pas eu le temps !! 
oui bien sûr on "sait" qu'il existe des solutions ... mais en partant à vide pour en trouver, voire même seulement prouver qu'il en existe, faut quand même se fatiguer un peu !! 
et merci pour ton dernier msg ... car je ne connaissais pas ...
Superbe formule de Binet!
Pour comparaison, avec le même intervalle pour (x,y) et (m,n), on n'obtient très peu de quadruplets communs. De plus, il faut nécessairement (x,y) copremiers pour ne pas se répéter, alors que ça n'est pas nécessaire pour (m,n)
Ici le "début" pour (x,y) et (m,n) dans [1;3]2
Combinaison linéaire
d [a b c] x y
76 [-17, 38, 73] 1 2
54 [-24, 17, 55] 1 3
187 [58, 131, 160] 2 1
255 [-18, 151, 236] 2 3
202 [76, 141, 171] 3 1
440 [107, 306, 381] 3 2
Binet
d [a b c] m n
6 [3, 4, 5] 1 1
25 [4, 17, 22] 1 2
144 [1, 71, 138] 1 3
29 [11, 15, 27] 2 1
260 [65, 127, 248] 2 2
111 [16, 47, 108] 2 3
88 [25, 31, 86] 3 1
484 [109, 170, 475] 3 2
1302 [217, 431, 1284] 3 3
Et une valeur commune entre les 2 méthodes pour:
(x,y) : 22 [-17, -4, 25] -1 5
(m,n): 22 [-17, -4, 25] -1 2
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