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lieu géométrique intersection des deux droites cercle directeur

Posté par
kassiopeia 23-01-25 à 13:05

Bonjour,

est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre/ contrôler cet exercice d'un concours?

On considère un cercle C de centre (0|0) et de diamètre [AB]. Soit Q un point du cercle C. Le point R est défini par \vec{RQ}=\vec{QB}.

1. Déterminer le lieu géometrique de R lorsque Q parcourt le cercle C.
2. Soit S le point d'intersection des droites AQ et OR. Déterminer le lieu géométrique de S lorsque Q parcourt le cercle C.

Pour Question !. je crois avoir trouvé la solution. J'ai choisi le R.O.N. (O,OB,Oy) et donc les points B(0|0), O(0|0), A(-1|0) et Q(x_{Q}|y_{Q}).
Avec Q\epsilon C j'ai résolu l'équation \vec{RQ}=\vec{QB} et j'ai trouvé le lieu géométrique du cercle de l'équation y^{2}+(1+x)^{2}=4.

Est-ce correct?

Mais par rapport à la deuxième question je suis un peu perdue..

Avec R(x_{R}|y_{R}) jai les deux équations des droites:

(AQ)\equiv y=\frac{\sqrt{1-x_{Q}^{2}}}{x_{Q}+1}\cdot (x+1)

et

(OR)\equiv y=\frac{\sqrt{4-(1+x_{R})^{2}}}{x_{R}}\cdot x

Sachant que Q\epsilon C jai pu éliminer x_{Q}.

Jai ensuite calculé (AQ)\cap (OR) et c'est là où je suis bloquée. Il reste toujours le x_{R} dans l'équation et je recois une équation de x au quatrième degré..

Voilà ce que je recois:

(x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-3)\cdot x_{R}^{2}=x_{R}^{2}+2x_{R}-3

Et je ne sais plus comment continuer ou comment faire autrement.
Pouvez-vous m'aider?

Merci en avance.

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
carpediemre : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 23-01-25 à 14:27

salut

pourquoi poster dans le forum "niveau calculatrice" qui ne nous permet pas de savoir quel est ton niveau ...

\vec {RQ} = \vec {QB} \iff \vec {BR} 2 \vec {BQ} \iff Q est le milieu du segment [BR]

R est l'image de Q par l'homothétie de centre B et de rapport 2

le lieu de R est l'image du lieu de Q par cette même homothétie ... ce qui donne bien le cercle de centre A et de rayon 2 ...

2/ les droites (AQ) et (OR) sont les médianes du triangle ABR

leur point d'intersection S est donc le centre de gravité du triangle ABR

les relations vectorielles permettant de définir le centre de gravité permettent de conclure comme en 1/

Posté par
heklare : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 23-01-25 à 14:31

Bonjour

\vec{RQ}=\vec{QB} donc Q est le milieu de [RB]

Soit H l'homothétie de centre B et de rapport 2 donc R=H(Q)
l'image d'un cercle par une homothétie est un cercle

le lieu de R est le cercle image de C par H .

lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc

Posté par
kassiopeiare : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 24-01-25 à 16:44

Merci bcp pour votre aide, l'image et la piste avec les médianes m'ont bcp aidé!

Donc pour 2) on a\vec{s}=\frac{2}{3}\cdot \vec{AQ} ou \vec{s}=\frac{1}{3}\cdot \vec{OR}

et avec ca je recois

\frac{y_{R}^{2}}{9}+\frac{(x_{R}+3)^{2}}{9}=4

Est-ce correct?

Posté par
heklare : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 24-01-25 à 17:19

Pourquoi utilisez-vous l'analytique ?

Il est plus simple de considérer l'homothétie  H' de centre O et de rapport 1/3

S =H'(R)

Le lieu de S est le cercle image du cercle de centre A et de rayon AB

lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc

Posté par
carpediemre : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 24-01-25 à 17:28

oui une simple traduction manipulation vectorielle (relation de Chasles) permet comme en 1/ d'arriver à \vec {OS} = \dfrac 1 3 \vec {OR}

qu'on traduit en homothétie ...

Posté par
heklare : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 24-01-25 à 17:37

Pas besoin, on sait que le centre de gravité d'un triangle se trouve au deux tiers d'une médiane à partir du sommet et un tiers à partir de la base.

Posté par
carpediemre : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 24-01-25 à 17:40

qu'on le dise "en français" ou "en vecteur" il faut bien le dire ... pour le traduire en homothétie

Posté par
kassiopeiare : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 25-01-25 à 21:15

Ah oui je vois.. ca rend les choses bcp plus facile en fait

Merci bcp à vous deux!

Posté par
heklare : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 25-01-25 à 22:00

De rien

Posté par
carpediemre : lieu géométrique intersection des deux droites cercle direc 26-01-25 à 10:27

de rien


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