Bonsoir,

1) quelle est la définition focale d'une hyperbole (cours) ?
propriéte d'une médiatrice, rappel : tout point de la médiatrice de O'P est équidistant de O' et de O (MO' = MP)

2) propriétés de cours de la tangente à l'hyperbole ?

3) deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.
définition d'une asymptote ?

j'ai fait la figure.Mais pour la question 1 faudra-t-il choisir un repére orthonormé d'origine O? Est-ce que vous ne pouvez pas me choisir un repére dans ce plan?

Si tu veux le faire analytique ....
tu peux choisir un repère avec l'origine au milieu de OO', ça sera sympa le résultat final
O (-c, 0) O' (+c, 0)

mais ici le problème est énormémemnt plus simple géométriquement !!
la définition focale d'une hyperbole c'est :
lieu des points dont la différence des distance à deux points fixes (=foyers) est constante.
et propriété caractéristique des tangentes à l'hyperbole : bisectrice extérieure des rayons focaux (des segments reliant M aux foyers)
une asymptote est la tangente à l'hyperbole "à l'infini"

ça sera sympas le résultat mais pas facile enh
Dans le repère (,,) avec =mil[OO'] que vous m'avez indiqué on a M(x;y),O(-c;0) et O'(c;0) maintenant comment vas-t-on procéder?On égalise les distances MP=MO'?

On sait (par les arguments purement géométriques tout à fait élémentaires) que le lieu sera un hyperbole de foyers O et O'

donc dans ce repère elle aura pour équation x²/a² - y²/b² = 1
c'est la raison du choix de ce repère.

ceci dit les calculs sont à mon avis pas mal pénibles quel que soit le repère

tu écris que MO = MO' +/- R selon que P est sur l'arc T1T2 du coté de O' ou du côté opposé
et donc que au total (MO-MO')² = R²
etc ...
hélas il va falloir de l'astuce pour réussir à virer les racines carrées qui apparaissent dans cette formule

Excuse pour le retard mathafou.
Mici maintenant j'ai fait la 1ére question.maintenant pour la deuxiéme question je sais que la tangente d'une hyperbole à un point M₀(x₀,y₀)
donc au point M(x,y) on a (T):x²/a²-y²/b²=1,puis les coordonnées du milieu de la médiatrice de(O'P) je peux le connaitre car O'(-c,0) et P(x,y) et aussi je sais que la médiatrice est perpendiculaire à (O'P).j'ai essayé de déterminer l'équation de la médiatrice par la condition d'orthogonalité mais je trouve pas la réponse.
montrez moi svp

en appelant tous les points de cordonnées (x; y) ça va être difficile !
M est différent de P.

est-ce que vous pouvez me dire pourquoi l'équation de la tangente passant par M(X,Y) est de la sorte? vous avez fait Produit des coefficients directeurs de la tangente à l'hyperbole et de celui de la médiatrice est égale à 1 pour obtenir cette relation il me semble?
et pour la dernière question comment on va montrer que les médiatrices sont les asymptotes de l'hypebole svp

rien de tout ça. j'ai écrit la différentielle totale de la courbe
x²/a² - y²/b² = 1 donne
2xdx/a² - 2ydy/b² = 0
d'où je tire dy/dx, pente de la tangente.

de toute façon je suis personnellement incapable d'obtenir la médiatrice car à partir du point M(X; Y) je n'arrive même pas à obtenir les coordonnées de P !!
(à partir de M il y a deux points P à priori possibles et un seul est le bon, déja, voir plus bas)

je me demande bien même comment tu as pu résoudre algébriquement et réellement la question 1 d'ailleurs, vu les astuces délirantes qui sont nécessaire pour le faire.
Résolution algébrique :
(et encore, algébrique simplifiée par l'utilisation des propriétés proprement géométriques de la médiatrice)

donc on part de |MO - MO'| = R, M(x; y) grace à la médiatrice qui dit que MP = MO'

cela s'écrit abominablement avec des radicaux et il sera quasiment impossible de les éliminer.

l'astuce (la seule qui fonctionne vraiment) est :
considérons que l'équation s'écrit
(MO - MO' - R)(MO - MO' + R) = 0
c'est à dire (MO - MO')² - R² = 0
qui est encore irrationnelle (à cause du double produit 2MO.MO')

rajoutons le terme (MO + MO')² - R² = 0 pour obtenir l'équation produit :
((MO - MO')² - R²)((MO + MO')² - R²) = 0
que l'on simplifie et dans laquelle il n'y a plus de termes irrationnels et où on finit avec :

4R²(R² - 4c²)[4x²/R² + 4y²/(R² - 4c²) - 1] = 0 (sauf erreurs)

soit simplement 4x²/R² + 4y²/(R² - 4c²) = 1
avec 2c > R donc R² - 4c² < 0 et en posant a = R/2 et b² = c² - R²/4
x²/a² - y²/b² = 1 qui est bien l'équation d'une hyperbole (mais en fait on tourne en rond car comment est définie une hyperbole ????)

Reste que le terme "ajouté" (MO + MO')² - R² = 0 pourait ajouter des points ne faisant pas partie du lieu !
il faut donc s'assurer qu'il n'y a aucun point réel avec (MO + MO')² - R² = 0
MO + MO' + R ne peut jamais être nul (évident car c'est > R)
MO + MO' > OO' (inégalités triangulaires) donc MO + MO' > 2c > R
et donc (MO + MO')² - R² > 0 strictement, ne peut pas être nul.

CQFD pour la question 1.

Avec cette technique la difficulté (et elle est de taille) de la question 2 va être de déterminer le point P !!
Si M(X; Y) fait partie de l'hyperbole, à priori le point P pourait être juste à deux endroits différents !!
(les deux intersections de OM avec le cercle de centre O)
Or à un point M ne correspond en vrai qu'un seul point P !

Il serait donc à priori beaucoup plus "simple" (hum) de partir de P (u; v) et d'en déduire M
cela revient à obtenir (et donc refaire) tous les calculs précédents avec une autre méthode encore pire :
le paramètrage de P(u; v) avec (u+c)² - v² = R²
on calcule alors la médiatrice de O'P (facile, avec u, v comme paramètres)
et l'équation de la droite OP
et les coordonnées du point d'intersection M(X; Y), toujours en fonction de u, v.
et on vérifie que si (u+c)² - v² = R² alors X²/a² - Y²/b² = 1 avec a et b comme ci dessus. C'est là la difficulté.
(ceci pour faire la question 1 directement donc)

la médiatrice de O'P est alors déja calculée (en fonction de u, v) !
il "suffit" donc pour prouver qu'elle est tangente à vérifier qu'elle a la bonne pente puisque par construction elle passe par M

c'est à dire que sa pente est b²X/a²Y, toujours si (u+c)² - v² = R²
...
Mais là aussi cette pente ne s'obtient ici que grace à cette astuce de "différentielle totale" qui n'est certainement pas du niveau lycée (même "Autre")
L'autre possibilité est de considérer une demi hyperbole et la moitié du problème (se restreindre à Y >0) avec
fonction de x dont on sait calculer la dérivée (d'où la pente de la tangente en le point M(X; Y) de cette courbe)
et on recommence (plus simplement on remarque que l'axe OO' est axe de symétrie) si Y < 0 pour obtenir la pente en tout point (= quels que soient les signes de X et Y)


pour la dernière question tout dépend de ce que tu considères comme définition d'une asymptote à l'hyperbole ...
il suffira alors de vérifier que les médiatrices en question satisfont à cette définition.


Pour ma part tout le problème se résoud avec les bonnes définitions de façon purement géométrique en quelques lignes pratiquement sans calcul
tous ces calculs algébriques ne font en fait que compliquer le problème.
Ils ne sont à faire donc que en fonction des diverses définitions de "hyperbole" choisies :
- section d'un cone de révolution par un plan coupant les deux nappes du cone
- ensemble des points dont la différence de distances à deux points fixes appelés foyers est constante
- courbe algébrique de degré 2 de la forme ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f² = 0
si b² - ac >0 et pas dégénérée en paire de droites c'est une hyperbole.
- ensemble des points dont le rapport des distances à une droite donnée (directrice) et un point donné est constant et appelé excentricité e
si e > 1 c'est une hyperbole.
- je ne parle pas de définitions projectives et ou/affines par des produits matriciels.

Toutes ces définitions sont totalement équivallentes.

ici tes calculs algébriques consistent donc à prouver que la définition "géométrique" : "ensemble des points dont la différence des distances à O et O' est constante" (conclusion rigoureusement évidente et totalement instantanée avec cette définition) est équivallente à "une courbe d'équation algébrique etc" parce que c'est "ça" que tu considères comme définition de l'hyperbole, c'est ton choix, et tu as la responsabilité de ces calculs horribles... à moins qu'ils ne soient demandés explicitement dans l'énoncé même.

Pour la première question j'ai regardé l'astuce que le prof a fait dans le cours pour déterminer le lieu de M.là voila:
j'ai d'abord fait la figure comme indiquée et donc j'ai choisi un repère (,,)comme vous m'avez choisi avec =mil[OO']
Dans ce repère,on a (0,0),O(c,0),M(x,y)
et j'ai désigné par () l'ens cherché
géométriquement dans la figure,on a: |MO-MO'|<OO'et OO'=2c
Supposons:|MO-MO'|=2a
MO-MO'=2a ou MO-MO'=-2a
() est la réunion de (1)(2) avec (1) l'ens des points M vérifiant MO-MO'=2a et (2) ceux vérifiant MO-MO'=-2a
(MO)(c-x,-y) et (MO')(-c-x,-y) ce sont tous des vecteurs
Donc MO²=(x-c)²+y²
     MO'²=(x+c)²+y²
MO²-MO'²=-4cx
(MO-MO')(MO+MO')=-4cx
on aboutit donc à 2 systémes:
(MO+MO')2a=-4cx (1)   ou       (MO+MO')(-2a)=-4cx   (2)
MO-MO'=2a                      MO-MO'=-2a
En simplifiant chaque systéme et en sommant membre à membre,on a
MO=a-cx/a      (1)    ou        MO=cx/a-a     (2)
MO'=-a-cx/a                  MO'=cx/a+a
maintenant si M(1) il vérifie donc le systéme (1)
MO=a-cx/a
MO²=(a-cx/a)²=(x-c)²+y²
En développant, on a:
a²-2cx+c²x²/a²=x²-2cx+c²+y²
c²x²/a²-x²-y²=c²-a²
x²(c²-a²)/a²-y²=c²-a²
x²/a²-y²/(c²-a²)=1
Or MO-MO'<OO'
2a<2c
a<c
c²-a²>0
Et donc en posant b²=c²-a² on a
M(1):x²/a²-y²/b²=1
De meme M(2)MO=cx/a-a
M(2):x²/a²-y²/b²=1
En définitive: () est l'ensemble des points M tel que FF'=2c et |MO-MO'|=2a M décrit l'hyperbole (H):x²/a²-y²/b²=1 de foyers O(c,0) et O'(-c,0) d'axe focal (OO')
Voilà comment j'ai fait.Pour la deuxième question aussi j'ai regardé le cours pour le démontrer.
Mais pour la dernière question je ne vois pas comment,si vous pouvez m'aider

tout dépend quelle est la définition ici de "asymptote à l'hyperbole"...

tu viens de démontrer que les tangentes sont les médiatrices de PO'
lorsque P est en T1 la médiatrice en question est parallèle à (OP) (géométriquement évident) et le point M est bien le point à l'infini dans cette direction. donc c'est une asymptote à l'hyperbole par définition (tangente en un point à l'infini)

si on ne veut pas faire intervenir une telle définition, tu dois donc prendre d'autres définitions de "asymptote à l'hyperbole"
mais reste à savoir laquelles / lesquelles tu connais / sont dans ton cours !!!
tant que cette question n'est pas réglée de la définition / des définitions "autorisées" de "asymptotes" tu ne pourras pas avancer.

merci c'est fait