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Limite de dérivée et de fonction

Posté par
gratuitus
27-06-12 à 13:17

Bonjour,
Est-ce qu'il existe des théorème reliant la limite d'un dérivée et celle de la fonction dont elle est la dérivée ?
Par exemple, si lim (x->+oo)f'(x)= +oo alors lim(x->+oo )f(x)=+oo ?

Posté par
tacotac27
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:35

oui  : mettons, si  f(x) = 2x    ; 2x est croissante sur R  , aussi , sa dérivée est x² ,  qui est croissante sur R+
ainsi , Lim f(x)  quand x-> +00  = +00   et Lim f'(x)  quand x-> tend  +00   = +00  
on voit bien qu'il y a une corrélation  

Posté par
otto
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:37

Bonjour,
puisque f' tend vers +oo, alors quelque soit M>0 il existe x_0 tel que pour tout x>x_0, on a f'(x)>M.
On prend M=1 et un x_0 qui convienne.
On obtient

 \\ f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(t)dt \geq f(x_0) + 1.(x-x_0)
 \\
Sauf erreur.
Sinon on peut aussi s'en sortir avec le théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
otto
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:37

Oups, pas le TVI mais le théorème des accroissements finis, pardon.

tacotac27, ça ne répond malheureusement pas à la question.

Posté par
gratuitus
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:38

Ok, mais ma question portait plus sur l'existence de théorème, effectivement on voit bien de manière intuitive, mais je m'intéressais plus à une démonstration =)

Posté par
otto
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:39

Note que la démonstration s'adapte à toute fonction f telle que f'(x)\geq M >0 pour tout x assez grand.

Posté par
ovn
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:40

Bonjour,

La règle de l'Hôpital appliquée avec g(x) = x donne même x = o(f(x))

Posté par
otto
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:41

Amusant ovn, et bien vu.

Posté par
gratuitus
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:46

Merci,pour vos réponses, je retrouve dans le théorème de l'accroisement fini ce que je recherchais .
et si on a lim (x->+oo)xf'(x)=0 est ce que lim(x-> +oo)f(x)=0?

Posté par
otto
re : Limite de dérivée et de fonction 27-06-12 à 13:52

Ça me parait moins évident...

f'(x)=\frac{1}{x\ln(x)}

Je pense que ce sera vrai pour x^af'(x) pour tout a>1



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