Niveau Préparation CRPE

Limite de fonction exponentielle de" a"

Posté par
bouchaib 14-02-24 à 00:47

Bonsoir,
La   $\lim_{-\infty} \frac{a^x}{x}=+\infty$   ,    si 0<a<1.
Comment je procède :
     $a^{x}= e^{x.ln a}$ , or ln a<0
Donc.
                       $\lim_{-\infty} (e^{x.ln a})/x = e^{+\infty}$ car  ln a<0  × (-infiny)  e ^(+infini).
Alors que dans un livre de terminale la solution est -infini. Que je trouve fausse comme réponse.
Merci par avance.

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 07:27

Bonjour,
Une exponentielle est toujours positive ; le quotient e^xln(a)/x est donc du signe de x.
Si x < 0, on a $\;$ e^xln(a)/x < 0 .
Difficile de tendre vers + dans ces conditions...

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 07:45

Ceci est incompréhensible :

Citation :
$\lim_{-\infty} (e^{x.ln a})/x = e^{+\infty}$ car ln a<0 × (-infiny) e ^(+infini)

Quand x tend vers -

, le produit $\;$ x ln(a) $\;$ tend vers +

.
Utiliser $\;$ X = x ln(a) $\;$ permet de faire apparaître $\;$ e^X/X $\;$ dans $\;$ e^xln(a)/x .

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 08:39

Merci beaucoup.

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 09:51

Bonjour .
C'est OK et parfait. Merci encore.

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 11:28

Ou si tu préfères,

$\log_a\left[\dfrac{a^x}{-x}\right] = x - \log_a(-x)$

tend vers $+\infty$ , donc $\dfrac{a^x}{-x}$ aussi, et donc la limite que tu cherches est $-\infty$

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 11:32

Oups petite erreur, la première limite tend vers $-\infty$ mais $\ln(a) < 0$ , le reste ne change pas.

C'est plus clair de prendre le log népérien en fait

Citation :
$\ln\left[\dfrac{a^x}{-x}\right] = x\ln(a) - \ln(-x) \to +\infty$ donc son exponentielle, qui est l'opposé de la limite que tu cherches, tend aussi vers $+\infty$

Posté par re : Limite de fonction exponentielle de" a" 14-02-24 à 16:40

Bonjour Ulmiere,
Il me semble que ton $\;$ $x\ln(a) - \ln(-x)$ $\;$ est une forme indéterminée.