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limite e

Posté par
karatetiger 15-06-09 à 11:46

Bonjour petit problème et je ne trouve sur le net comment montrer que
lim (1+1/x)^x=e en plus l'infini ,je me doute que c'est tout simple mais je suis bloqué.

Merci

Posté par
Arkhnorre : limite e 15-06-09 à 11:59

Salut.

Ecris ton expression sous forme exponentielle, et utilise un DL.

Posté par
karatetigerre : limite e 15-06-09 à 11:59

merci je pensais pas au DL

Posté par
Arkhnorre : limite e 15-06-09 à 12:01

De rien.

Posté par
XathrOsre : limite e 24-06-09 à 10:00

attention a la composition des dl
la ca ne va pas marcher...

Posté par
karatetigerre : limite e 24-06-09 à 10:01

Pourquoi?

Posté par
Arkhnorre : limite e 24-06-09 à 11:24

C'est la composition des équivalents qui peut poser problème. Avec un DL, ça marche.
Si tu n'es pas convaincu :

3$ \ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x}\epsilon(\frac{1}{x}), avec 3$ \lim_{x \to+\infty}\hspace{5}\epsilon(\frac{1}{x}) = 0

Par conséquent, 3$(1 + \frac{1}{x})^x = e^{x\ln(1+ \frac{1}{x})} = e^{1 + \epsilon(\frac{1}{x})} \hspace{3}\to_{x\to+\infty}\hspace{3} e

Posté par
olive_68re : limite e 29-06-09 à 06:35

Bonjour

Je fais remonter le topic, il y a aussi une méthode autre que les 3$\mathcal{D}\ell et niveau terminal

On pose 3$\blue \fbox{X=\fr{1}{x}} ainsi 3$\blue\fbox{x=\fr{1}{X}} et 3$\blue\fbox{\lim_{x\to +\infty } \ X=0}

Donc 3$\blue\fbox{\(1+\fr{1}{x}\)^x} peut s'écrire 3$\blue\fbox{\(1+X\)^{\fr{1}{X}}}

Ce qui donne 3$\blue\fbox{e^{\fr{\ell n(1+X)}{X}}} et on reconnait un taux de variations..

Donc 3$\blue\fbox{\lim_{x\to +\infty} \ \(1+\fr{1}{x}\)^x=\lim_{X \to 0} \ e^{\fr{\ell n(1+X)}{X}}=e^{\fr{1}{1+0}}=e^1=e}

Donc on a bien 3$\red\fbox{\fbox{\lim_{x\to +\infty} \ \(1+\fr{1}{x}\)^x=e}}

Voilà Voilà

Posté par
ottore : limite e 29-06-09 à 15:32

lim (1+1/x)^x=e en plus l'infini
C'est la définition (historique) de e...


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