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Limite et dérivée.
Bonjour !
Je vous propose un petit défi...
Soit f une fonction monotone dérivable sur
.
Trouvez la condition sur f', dérivée de f telle que :
f admet une limite réelle en
MV
Oups, l'exemple que je t'ai donné n'est pas dérivable en 0.
D'où une légère généralisation de l'énonce : f monotone et dérivable sur , a réel.
Oui, je crois même qu'on en avait déjà discuté.
Bon, allez je donne ma réponse :
Cliquez pour afficherSur ce je dois te dire bonne nuit.
Bonsoir. 
et alors, il y a bien une limite...
Oui, mais elle n'est pas réelle. Si on autorise la limite à être infinie, il n'y a plus rien à démontrer, et l'hypothèse f dérivable est superflue, puisque toute fonction monotone à une limite en
Bonjour,
On peut expliciter une fonction dérivable et croissante qui a une limite réelle en +
et telle que sa dérivée n'est pas bornée.
Soit g'(x)=c(x-a)(b-x) et : g'(a)=g'(b)=0 , g(a)=0 ,
et
.
On choisit a=n , et
.
On définit alors f par:
f(x)=1 si x<2
et pour :
si alors
si alors
.
f est bien dérivable, croissante, mais
n'est pas borné. f'(x) n'a pas de limite en +
car de plus f'(n)=0.
Ouille ! Alors là j'ai du mal à suivre.
J'ai l'impression que la question est bien plus complexe que ce que je ne croyais.
Je comprend bien le contre exemple ln(ln(x)).
Mais pour Jandri, avec peu que je comprend il me semble que f fait des "escaliers".
Or f doit être monotone.
MV
Mais, une fonction monotone est strictement croissante ou strictement décroissante.
Donc la dérivée peut s'annuler sur un point mais pas sur tout un intervalle non ?
En fait même sur wiki c'est flou, mais je pensait monotone au sens strict.
Mais je comprend ce que veut dire jandri.
Il faut imaginer une courbe avec des bosses de plus en plus petites qui montent.
En effet, mon problème doit subir encore d'autres restrictions.
Je vais réfléchir...
Bonjour matovitch,
Voici un dessin de f fait avec Maple; sa définition est un peu compliquée car elle doit est dérivable, mais elle est simplement construite à partir d'une fonction en escalier croissante et de limite finie en +.
Bonsoir et merci TR !
C'est exactement ce à quoi je pensais hier.
f est soit concave soit convexe sur [a;+[ et admet une limite réelle en +.
Dans ce cas que peut on dire de f' ??
MV
Un petit up !
Je rappelle la question :
-
| Soit f une fonction strictement (dé)croissante et convexe(cave) sur [a;+[ qui "converge" en +
que peut on dire de la dérivée de f ? |
MV
Oui, donc dérivable...je voudrais une information sur la vitesse de convergence de f' en 0.
Merci de ta réflexion NM !
Qu'entends-tu par vitesse de convergence ici? Je ne comprends pas ce que tu veux comme renseignement sur f', il y a beaucoup de choses à dire 
ex : si on a et
Alors g doit converger "plus vite" que f.
Si tu veux, je cherche la fonction h telle que
Je sais cette question est très vague en effet.
Aïe ! Place toi même les hypothèse car je n'ai pas l'habitude d'être aussi précis :
Soit f une fonction strictement (dé)croissante et convexe(cave), infiniment dérivable sur [a;+[ qui converge en +.
Trouvez la fonction h telle que
ça va ? (je n'ai pas de réponse, mais je pense qu'il y en a une)
Sauf erreur, une fonction croissante convexe diverge tout le temps en +oo, sauf si elle est constante!
matovitch>>
Un exercice "classique":
soit f dérivable et convexe (ou concave) sur [a,+[;
montrer que si f a une limite réelle en +, alors .
La réciproque est fausse: f(x)=ln(ln(x)).
Je ne pense pas que l'on puisse trouver une fonction h telle que car en choisissant f(x)=ln(ln(...(ln(x))...)) la fonction h dépendrait de f.
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