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log réels positifs tres petits ou tres grands

Posté par Profil amethyste 25-11-15 à 19:08

slt

je fais ce post car comme ça il sera accessible facilement car en fait c'est quelqu'un sur le forum Equation logarithme qui posai la question mais vu le temps que j'ai mis pour l'écrire en lui répondant alors autant  que ce soi pour tout le monde que ça interesse

il existe un calcul tres simple et original (car ici on se base sur une constante que l'on appelle  \psi pour determiner le logarithme neperien d'un tres tres grand nombre ou d'un tres tres petit nombre et en effectuant un minimum de calculs (environ une vingtaine de sommation pour avoir un calcul appréciable)

il s'agit des cas n°7 et n°8 décris ci-dessous

Ici on notera la constante de neper e telle que log(e)=1

e \approx 2.718281828459...

Bref ...un minimum de calculs oui car toutes les sommations écrites ci-dessous (et sans exception) convergent rapidement

mais autant le donner ici pour tout nombre strictement positif et choisir selon le cas qui interesse ....

tout d'abord on va construire une constante que l'on nomme

\psi =\frac {1}{2}+\frac {1}{2.3}+\frac {1}{2.3.5}+\frac {1}{2.3.5.7}+\frac {1}{2.3.5.7.11}+...  somme des inverses des produits de facteurs premiers

tu obtiens \psi \approx 0.7052301717918... et  \psi ^{-1}\approx 1.417976768434 ...

____________________________________
toutes les sommations écrites ci-dessous (et sans exception) convergent rapidement

log (\psi ^{-1})=-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(\psi -1)^{n}

log (\psi )=-log (\psi ^{-1})

log(2)=log (\psi ^{-1})-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}. \psi ^{-1}-1)^{n}

log(2 ^{-1})=-log(2)

log(10)=3.log(2)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(4.5^{-1} -1)^{n}

log(10^{-1})=-log(10)

_______________________________

cas n°1

pour tout \psi <x<1
on applique log(x)=\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(x -1)^{n}

cas n°2

pour tout 1<x<\psi ^{-1}
on applique log(x)=-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(x^{-1} -1)^{n}

cas n°3

pour tout 2^{-1}<x<\psi
on applique log(x)=-log(2)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°4

pour tout \psi ^{-1}<x<2
on applique log(x)=log(2)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}.x -1)^{n}

cas n°5

pour tout e ^{-1}<x<2 ^{-1}
on applique log(x)=-log(2)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2.x -1)^{n}

cas n°6

pour tout 2<x<e
on applique log(x)=log(2)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2.x^{-1} -1)^{n}

cas n°7
attention ici x est écrit en base dix
pour x<e^{-1} on détermine t qui désigne la quantité de zero de la partie fractionnaire de x depuis la décimale jusqu'au premier chiffre non nul (chiffre que l'on note h)
par exemple pour x=0.000821 alors t=3 et h=8
autre exemple pour x=0.321 alors t=0 et h=3

cas n°7a
pour 1\leq h \leq 4 on pose x^{\prime }=2^{-1}.10^{t+1}.x
ainsi on obtiens 2^{-1}\leq  x^{\prime }<e

cas n°7a.1
pour x^{\prime } =2 on obtiens
log(x)=2.log(2)-(t+1).log(10)

cas n°7a.2
pour x^{\prime } =\psi^{-1}   on obtiens
log(x)=log(\psi^{-1} )+log(2)-(t+1).log(10)

cas n°7a.3
pour x^{\prime }=1 on obtiens
log(x)=log(2)-(t+1).log(10)

cas n°7a.4
pour x^{\prime } = on obtiens
log(x)=log(2)-log(\psi^{-1} )-(t+1).log(10)

cas n°7a.5
pour x^{\prime } = 2^{-1} on obtiens
log(x)=-(t+1).log(10)

cas n°7a.6
pour 2<x^{\prime }<e on obtiens
log(x)=2.log(2)-(t+1).log(10)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(4.10^{-t-1}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°7a.7
pour \psi^{-1}<x^{\prime }<2 on obtiens
log(x)=2.log(2)-(t+1).log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.( 4^{-1}.10^{t+1}.x -1)^{n}

cas n°7a.8
pour 1<x^{\prime }< \psi^{-1} on obtiens
log(x)=log(2)-(t+1).log(10)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2 .10^{-t-1}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°7a.9
pour \psi <x^{\prime }< 1 on obtiens
log(x)=log(2)-(t+1).log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}.10^{t+1}.x  -1)^{n}

cas n°7a.10
pour 2^{-1}<x^{\prime } <\psi on obtiens
log(x)= -(t+1).log(10)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(10^{-t-1}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°7b
pour 5\leq h \leq 9 on pose x^{\prime }=10^{t}.x
ainsi on obtiens 2^{-1}\leq x^{\prime }<1

cas n°7b.1
pour x^{\prime } = 2^{-1} on obtiens
log(x)=-t.log(10)-log(2)

cas n°7b.2
pour x^{\prime } =\psi on obtiens
log(x)=-t.log(10)-log(\psi ^{-1})

cas n°7b.3
pour 2^{-1} <x^{\prime } <\psi on obtiens
log(x)=-t.log(10)-log(2)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}.10^{-t}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°7b.4
pour \psi <x^{\prime }<1 on obtiens
log(x)=-t.log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(10^t.x -1)^{n}

cas n°8
attention ici x est écrit en base dix
pour x>e on détermine t qui désigne la quantité de chiffres de la partie entiere de x  et on determine h le chiffre dominant de x  
par exemple pour x=74201.984  alors t=5 et h=7

cas n°8a
pour 1\leq h \leq 4 on pose x^{\prime }=2^{-1}.10^{-t+1}.x
ainsi on obtiens 2^{-1}\leq x^{\prime }<e

cas n°8a.1
pour x^{\prime } =2 on obtiens
log(x)=2.log(2)+(t-1).log(10)

cas n°8a.2
pour x^{\prime } =\psi^{-1}   on obtiens
log(x)=log(2)+(t-1).log(10)+log(\psi ^{-1})

cas n°8a.3
pour x^{\prime }=1 on obtiens
log(x)=log(2)+(t-1).log(10)

cas n°8a.4
pour x^{\prime } =\psi on obtiens
log(x)=log(2)+(t-1).log(10)-log(\psi ^{-1})

cas n°8a.5
pour x^{\prime } = 2^{-1} on obtiens
log(x)=(t-1).log(10)

cas n°8a.6
pour 2<x^{\prime }<e on obtiens
log(x)=2.log(2)+(t-1).log(10)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(4.10^{t-1}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°8a.7
pour \psi^{-1}<x^{\prime }<2 on obtiens
log(x)=2.log(2)+(t-1).log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(4^{-1}.10^{-t+1}.x -1)^{n}

cas n°8a.8
pour 1<x^{\prime }< \psi^{-1} on obtiens
log(x)=log(2)+(t-1).log(10)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2.10^{t-1}.x^{-1}  -1)^{n}

cas n°8a.9
pour \psi <x^{\prime }< 1 on obtiens
log(x)=log(2)+(t-1).log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}.10^{-t+1}.x -1)^{n}

cas n°8a.10
pour 2^{-1}<x^{\prime } <\psi on obtiens
log(x)=(t-1).log(10)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(10^{t-1}.x^{-1}  -1)^{n}

cas n°8b
pour 5\leq h \leq 9 on pose x^{\prime }=10^{-t}.x
ainsi on obtiens 2^{-1}\leq x^{\prime }<1

cas n°8b.1
pour x^{\prime } = 2^{-1} on obtiens
log(x)=t.log(10)-log(2)

cas n°8b.2
pour x^{\prime } =\psi on obtiens
log(x)=t.log(10)-log(\psi ^{-1})

cas n°8b.3
pour 2^{-1} <x^{\prime } <\psi on obtiens
log(x)=t.log(10)-log(2)-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(2^{-1}.10^{t}.x^{-1} -1)^{n}

cas n°8b.4
pour \psi <x^{\prime }<1 on obtiens
log(x)=t.log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(10^{-t}.x -1)^{n}

Posté par
lafol Moderateurre : log réels positifs tres petits ou tres grands 25-11-15 à 23:59

Bonjour
ça aurait été encore mieux en évitant d'utiliser la notation normalisée du logarithme décimal pour désigner le logarithme népérien ....

Posté par Profil amethystere : log réels positifs tres petits ou tres grands 26-11-15 à 00:56

Bonjour camarade Lafol

j'e pensais que la notation normalisée du logarithme décimal était avec un L majuscule et celle du népérien un l minuscule

Posté par
lafol Moderateurre : log réels positifs tres petits ou tres grands 26-11-15 à 08:26

ln, c'est l comme logarithme et n comme népérien ....
autrefois on faisait le distingo entre Log pour log népérien (remplacé donc de nos jours par ln) et log pour le log décimal (ça c'est toujours noté comme ça)

Posté par
alainpaulre : log réels positifs tres petits ou tres grands 27-11-15 à 16:56

Bonjour amethyste,,

Je me demande si les formules partant de la constante   que tu présentes
sont plus 'exactes' que celles résultant des changements de variable
\frac{1-z}{1+z}=x' ,x'=2^m x plus connues.


Sur ma très ancienne Programma 101 qui n'avait pas la fonction ln nous calculions le
logarithme népérien à partir de ln(x)\approx a(x^{\frac{1}{a}}-1),a\rightarrow \infty
en utilisant de manière itérée la racine carrée,exemple:x^{\frac{1}{8}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}}


Alain

Posté par Profil amethystere : log réels positifs tres petits ou tres grands 27-11-15 à 19:53

salut camarade Alain Paul

l'utilisation de la constante psi permet d'obtimiser au mieux des sommes à l'infini et d'avoir une convergence plus rapide

mais on peut en choisir une autre ... ça n'a aucune autre importance en fait

Par ailleurs j'ai mis des égalités et non des valeurs approchées...

ça veut dire quoi plus exacte qu'une égalité ?

par exemple là j'ai bien mis une égalité non ? ->

cas n°8a.7
pour \psi^{-1}<x^{\prime }<2 on obtiens
log(x)=2.log(2)+(t-1).log(10)+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}.n^{-1}.(4^{-1}.10^{-t+1}.x -1)^{n}

Posté par
alainpaulre : log réels positifs tres petits ou tres grands 28-11-15 à 10:40

Bonne fin de semaine,

Oui,à l'infini nous avons des égalités;le calcul effectif lui est 'fini'.

Il est intéressant d'observer que diverses approches sont possibles,celle que
je présentais   ( x^{\frac{1}{a}} )   converge lentement,

Alain

Posté par Profil amethystere : log réels positifs tres petits ou tres grands 28-11-15 à 23:24

Bonne soirée à toi aussi Alain Paul

Ceci dit on peut encore améliorer les sommations que j'ai donné ...

Posons l'une quelconque de ces sommations (qui convergent mais dont on cherche à accélérer la convergence)

Notons l'une d'elle \sum _{n=1}^{\infty}f_n  

Pour ce faire on recherche une suite (S_k) telle que S_0=f_1 et telle que :      \underset {\mbox {lim    }k\rightarrow \infty}{S_k} =\sum _{n=1}^{\infty}f_n

Cette suite étant donnée par \forall k\in \mathbb {N}^*, S_k=\frac {det(P_k)}{det(Q_k)} où P_k et Q_k sont des matrices de Hankel

Les matrices de Hankel sont des matrices carrées A telles que leurs composantes a_{ij} sont telles que l'on vérifie a_{ij}=a_{i-1,j+1}

Pour construire les matrices P_k et Q_k que l'on recherche

on pose la suite (xn) selon x_0=f_1 et \forall i\in \mathbb {N}^*, x_i=\sum _{j=1}^{i+1}f_j

Alors les matrices P_k et Q_k sont ainsi construites

P_1=\begin {pmatrix}x_0&x_1\\x_1& x_2 \end {pmatrix} et Q_1=\begin {pmatrix} x_2+x_0 \end {pmatrix}

P_2=\begin {pmatrix}x_0&x_1&x_2\\x_1& x_2 &x_3\\x_2&x_3&x_4\end {pmatrix} et Q_2=\begin {pmatrix} x_2+x_0&x_3+x_1\\x_3+x_1&x_4+x_2 \end {pmatrix}

et ainsi de suite ...

Posté par
alainpaulre : log réels positifs tres petits ou tres grands 29-11-15 à 11:45

Bon dimanche,

Le procédé utilisé dans nos machines à calcul et calculatrices est lui aussi intéressant:
considérons le logarithme décimal d'un nombre situé dans l'intervalle:[1,10[  
l'algorithme - procédé  Cordic - fonctionne à partir de valeurs fines des logarithmes de 1,1 ;1,01 ; 1,001...  et divisions successives  du nombre dont on cherche le log,

Alain

Posté par Profil amethystere : log réels positifs tres petits ou tres grands 29-11-15 à 15:42

Bon Dimanche Alain Paul

Là un doc PDF sur l'algorithme Cordic (en fait non je ne connaissais pas)

...sinon là le truc avec les matrice de Hankel -j'ai juste oublié de le dire, je pensais à autre chose-

ça viens de là  


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