Bonjour,

On suppose que f est dérivable sur



On dérive par rapport à x :


On prend :




Nicolas

Merci Nicolas

J ai capté  et je t en sais gré

Je t'en prie.

Desole de t ennuyer encore

Je cherche en vain à démontrer la réciproque:

Si u(1)=0
Et U'(x)= k/x en déduire que u répond à la condition u(xy)= u(x)+u(y)

Merci de tes lumières

Les deux membres n'ont-ils pas la même dérivée par rapport à x, et la même valeur en 1 ?

oui les deux membres ont la même dérivée par rapport à x
u(xy)' = yu'(xy)= ky/xy = k/x
(u(x)+u(y))'= u'(x)= k/x

de même u(xy) et u(x)+u(y) ont le même valeur en 1
en effet l'égalité subsiste si on remplace x par 1 et la valeur est u(y)

il en résulte que toute fonction u telle que u(1)=0 et u'(x)=k/x vérifie la condition u(xy)=u(x)+u(y)

correct?

si oui, comment introduire la notion de base pour assimiler la famille des fonctions f(x) à celle des logarithmes?
merci encore

Dans le principe, correct.

Tu pourrais améliorer un chouia la rédaction.

Par exemple en plaçant une phrase du type : "Les deux fonctions ont la même dérivée. Elles diffèrent donc d'une constante. Or elles prennent la même valeur en x=1. Donc elles sont égales en tout point".

Ou bien tu pose h(x)= u(xy)-u(x)-u(y). Tu montres que la dérivée est nulle. Donc h est constante. Or elle vaut 0 en 1. Donc elle est nulle en tout point. D'où la conclusion.

il manquait effectivement cette conclusion nécessaire qui était évidente et à laquelle je n'ai pas pensé.merci de ton aide.

pour répondre à ta question
citation  "Je ne comprends pas cette question.
Que signifient "notion de base" et "assimiler" ? Pourrais-tu reformuler ?"

je cherche à retrouver la démonstration montrant que l'ensemble des fonctions repondant à la condition f(xy) = f(x)+f(y)est identique à celui des fonctions logarithmes.

or, au stade où nous en sommes on sait que:

F(x)=0 répond à la condition
0 n'a pas d'image
f(1)=0
f(x/y)= f(x)-f(y)
f(x)= f(-x)
f(x^n)= nf(x)
les fonctions h(x)= kf(x) répondent aussi à la condition
La fonction ha(x)=f(ax)-f(x) est une constante
si f' est dérivée de f alors il existe un k unique tel que f'(x)= k/x
réciproquement si u(1)=0 et u'(x)= k/x alors u(xy)= u(x)+u(y)

les fonctions f(x) possèdent par conséquent toutes les proriétés des fonctions logarithmes sauf qu'une fonction logarithme se définit par rapport à une "base" et que les fonctions logarithmes sont toutes proportionneles à Ln et donc proportionnelles entre elles... deux points qui n'ont pas encore été démontrés (il me semble....)dans ce qui précède et qui, une fois démontrés, permettront de conclure que la famille de fonctions répondant à la condition est la famille des fonctions log (j'ai utilisé à tort le terme "assimilé à"..). mon approche est-elle logique?

Est-ce un exercice (dans ce cas, peux-tu donner l'énoncé précis ?) ou bien une question que tu te poses seul ?

Si c'est une question que tu te poses seul, quelle est ta définition des fonctions logarithme ?

c'est une question que je me pose seul. J'aurais dû l'avoir précisé.

Je réponds à ta question sur la définition du logarithme:

une fonction logarithme est une fonction définie sur R+  à valeurs dans R, continue et transformant un produit en somme. cette fonction s'annulle en 1 et n'a pas d'image pour 0.

Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est une fonction de ce type qui vérifie en outre loga(a) = 1.

j'ai voulu, dans cet exercice de démonstration, partir de l'égalité générale
f(xy)=f(x)+f(y), et avancer par étapes pour conclure que toutes les fonctions qui répondent à cette condition appartiennent à une famille qu'on appelle logarithme. Mais je n'arrive pas à distinguer fa (x) de fb(x) ou fe (x). Il faut évidemment une base pour définir un logarithme....donc il me semble qu'il manque un chainon important dans la démonstration mais je me trompe peut être....

J'avoue ne pas saisir.

Grosso modo (je simplifie), tu définis les logarithmes comme les fonctions telles que f(xy) = f(x)+f(y). OK.
Puis tu veux montrer que les fonctions telles que f(xy) = f(x)+f(y) appartiennent à la famille des logarithmes.
Mais c'est justement la définition que tu as choisies ! Il n'y a rien à montrer.

Pardonne-moi si j'ai mal compris.

Peux-tu re-formuler ?

Le début me semble très clair :
Une fonction logarithme est une fonction définie sur R+ à valeurs dans R, continue et transformant un produit en somme. Cette fonction s'annulle en 1 et n'a pas d'image pour 0. OK

Ensuite, que cherches-tu à montrer ?