bonsoir,

Très bonne idée au départ mais tu  dois savoir que log(a)+log(b)=log(ab)

et donc tu vas obtenir log(3*(x+2))=log(x²+4)............................

.....................;

Ok merci beaucoup!!
ça devient plus clair d'un coup !

Oui mais fais attention à l'ensemble de validité de cette équation

J'obtiens comme solution 2 et -3, ce n'est pas bon ?

J'ai de serieux doutes...Tu pourrais me detailler tes calculs ?

log₃ (x+2) + log₃  3 = log₃ (x²+4)

3 (x+2) = x² + 4x
x² + 4x - 3x - 6 = 0
x²+x-6 = 0

= b² - 4ac = 1 - 4 * (-6) = 25

solutions =  (1 +- 25) / 2 =( -1 +- 5 )/ 2 = 2 & -3

Voilà

Oui j'ai mal visionné ton équation et donc c'est presque juste

Il manque un petit détail ???

  quel est l'ensemble de validité de l'équation initiale ??

J'ai l'intuition que -3 est à rejeter mais je ne comprends pas totalement pourquoi ?

Excuse moi mais le log₃(x) ne serait il pas égale à ln(x)/ln₃ (logarithme en base 3) ? Car si tel est le cas, j'aurai une autre proposition à soumettre.

ah bah oui... 3ⁿ ne donnera jamais un nombre négatif quelque soit le n...

J'ai compris je pense

Tu as parfaitement raison mais on ne peut calculer le logarithme que d'une quantité strictement positive
Donc au départ, les solutions, si elles existent, sont telles que :  x+2>0  et x²+4x>0
  ???

C'est ce qu'on appelle l'ensemble de validité (ou de définition ) de l'équation ....

Très bien donc je proposerai l'équation suivante :

log₃ (x+2) + log₃  3 = log₃ (x²+4)
ln(x+2)/ln(3) + ln(3)/ln(3) = ln(x²+4)/ln(3)
ln((x+2)*3/(x²+4)) = 0
ln((3x+6)/(x²+4)) = 0

Le dénominateur étant toujours positif et sachant que ln(x) = 0 seulement si et seulement si x = 1, il ne nous reste plus qu'à résoudre la petite équation que voici:
3x+6 = x²+4
x²-3X-2 = 0

Pour = 17
x₁=3-(17)/2        et        x₂= 3+(17)/2

Juste une question : c'est log(x²+4) ou log(x²+4x)  ????

sinon tes calculs sont parfait (c'est ce que j'ai trouvé avec log(x²+4 )

Tu n'as pas répondu à ma question "ensemble de validité " de cette équation ??

Il faut y répondre avant de "transformer" l'équation initiale

Ici ce qui nous intêresse c'est le logatithme de (x+2) , celui de (x²+4 ) ou de (x²+4x)  et non log(x)

.................................

Ah oui désolé...
Bon revenons à cette étape:
ln((3x+6)/(x²+4)) = 0

On a déjà dit que le dénominateur est toujours positif et on sait que la fonction ln(x) est définie sur ]0;+[
On va donc résoudre l'inégalité suivante :
3x+6 > 0 x > -1/2

Ainsi l'équation est définie x > -1/2.
Par conséquent, je modifierai ma réponse en affirmant qu'il n'y a que x₂=3+(17)/2  qui soit solution de cette équation.

Dis moi homere, fais tu la différence entre ln(x) et log(x)? Car j'ai bien l'impression que tu devrais rejeter un œil sur tes cours concernant les fonctions logarithmiques ...

Désolé pour le multi-post, mais je dois rectifier ma réponse pour une erreur de parenthèse ...
Ainsi, je présenterai (3+(17))/2 comme unique solution à l'équation log₃ (x+2) + log₃  3 = log₃ (x²+4)



Ps : Avec log₃ (x²+4x) au lieu de log₃ (x²+4) et en appliquant la même méthode, je trouve x = 2 et x = 1 comme solutions. Je pense donc que c'est la toute première équation présentée par Cracramon dans le topic, qui doit être l'original (d'ailleurs je n'ai pas compris pourquoi il a mis un entre les deux équations).

Vraiment désolé pour ce quatrième post d'affilé mais il faut que je réctifie les réponses que j'ai apporté dans mon Ps.
En effet, mes solutions ne sont pas x = 1 et x = 2 mais plutôt  x = 3 et x = 2.
Voilà, j'espère que cette fois ce sera bon (si on ne compte pas un certain racine carré qui est passé à la trappe sur mon post précédent ).

C'est une malheureuse faute de frappe, x²+4x et pas x²+4 désolé !!

D'accord, donc tu as la réponse à ta question . As tu compris la méthode que j'ai utilisé ? Ou peut-être as tu trouvé ce résultat d'une autre manière (ce qui serait intéressant de nous en faire part si c'est le cas).

  bonsoir mystery_enigma,

C'est un peu compliqué tes multiples posts

bien sûr qu'il y a une difference entre ln, log  et log_a  mais je n'ai utilisé que les propriétés générales des logarithmes , pour moi cela me parait suffisant, et on retombe toujours sur 3(x+2)=x²+4x

Donc  les solutions de l'équation du second degré x²+x-6=0 sont -3 et +2

Il n'empêche, il faut, avant tout calcul ou toute transformation préciser l'emsemble dans lequel doivent se trouver les solutions.C'est un bon reflexe qui permet d'éviter de nombreux pièges surtout en terminale.

Bonne soirée

Je reconnais mon erreur pour le fait de ne pas avoir donné d'ensemble de validité avant les solutions de l'équation (en sachant qu'à la base je croyais que c'était x²+4 et non x²+4x).
Je suis désolé en ce qui concerne ma remarque sur la distinction ln/log; je ne savais pas que tu étais prof et donc que par ton statut je n'avais rien à t'apprendre sur le sujet.
Par contre je n'ai pas compris cette remarque :

Citation :
On a déjà dit que le dénominateur est toujours positif et on sait que la fonction ln(x) est définie sur ]0;+[
On va donc résoudre l'inégalité suivante :
3x+6 > 0 x > -1/2
Ainsi l'équation est définie x > -1/2.

bonjour mystery_enigma,

Impulsivité de la jeunesse, il n'y a pas de mal...

Ce que je voulais dire:

On ne peut calculer le logarithme (qu'il soit népèrien, decimal ou de base a ) que d'une quantité strictement positive.
Donc ici ,avant tout calcul, il faut resoudre le système formé par les 2 inéquations:

x+2>0 et
x2+4x>0

ce n'est pas très compliqué surtout en terminale.

Il exite une autre méthode qui consiste à n'écrire aucune condition initiale mais alors il faut vérifier que les solutions obtenues sont effectivement solution ou pas de l'équation de départ (mais  cette vérification peut être longue et n'a pas , à juste raison, la faveur des prof.)

Acquerir de bons reflexes (de bons outils )est la meilleure façon de progresser

Bonne journée
.....................................

Certes, mais si l'on aurait eu x²+4 (comme nous le laissait croire Cracramon au départ) au lieu de x²+4x, il aurait été inutile de résoudre une inéquation sur le dénominateur, celui ci étant positif x (ce qui relève tout de même de l'évidence).
Ainsi on ne s'occupe que de l'inéquation concernant le numérateur, soit 3x+6 > 0x > -1/2.
Ensuite, vu que ln(u) = 0 si et seulement si u = 1. Il ne nous reste plus qu'à résoudre l'équation 3x+6 = x²+4 pour trouver les solutions de l'équation log₃ (x+2) + log₃  3 = log₃ (x²+4).
On obtient donc x₁ =(3-(17))/2        et        x₂ = (3+(17))/2  mais on exclu x₁ des solutions car la fonction n'existe que pour x > -1/2.

Voilà mon raisonnement qui me semble tout à fait juste pour l'équation que j'ai évoqué plus haut. Mais encore une fois, je suis complètement d'accord avec la méthode que tu as utilisé pour résoudre l'équation log₃ (x+2) + 1 = log₃ (x²+4x).

bonsoir,

Effectivement si le second membre était x²+4, cette quantité étant strictement positive (il faudrair quand même le préciser dans un devoir ), il suffirait de résoudre uniquement 3x+6>0  soit x>-2 (une petite erreur de calcul de ta part)

Avec (x²+4) tes résultats  et ton raisonnement sont juste.
Pourquoi introduire la condition ln(u)=0 <==> u=1 ?

Une dernière remarque cependant :j'évite si possible les tranformations introduisant des dénominateurs car il y a presque toujours des conditions restrictives qu'on oublie quelquefois.Et ici on pouvait s'en passer en remarquant que la foction ln est une fonction strictement monotone.

soit: ln(a)=ln(b) <==> a=b  avec bien sûr a et b strictement positif.


Bonne soirée

Tout d'abord, merci pour la petite correction d'erreur de calcul .