Niveau Préparation CRPE

Logique_10

Posté par
bouchaib 28-08-24 à 00:01

Bonsoir,

Soient a et b deux rationnels tels que a différent de b.

$\alpha =\frac{a+b\sqrt {2}}{1+\sqrt {2}}$ .

1.Montrer  que     $\alpha \neq b$

2. Montrer que  le nombre alpha est irrationnel.

Réponse :

    Supposons que b=

  L'expression devient : $\alpha=b=\frac{a+b.\sqrt 2}{1+\sqrt 2}\Rightarrow a=b$
Or ab d'après la donnée de  l'énoncé.
Conclusion  : b

2. ne peut être rationnel que si a=b. Or ab donc dénominateur et numérateur sont tous deux irrationnels et  ab.

Merci d'avance.

Posté par re : Logique 28-08-24 à 00:12

Ta réponse au 2) est une succession d'affirmations mais il manque des preuves entre elles.

De plus, un quotient de deux irrationnels n'est pas forcément irrationnel. Par exemple 2pi / pi = 2

Je te suggère de t'intéresser à alpha - b. Réduis au même dénominateur et calcule le. Tu verras que ça répond à la question 1 et que le numérateur est un rationnel. Alpha est alors rationnel si et seulement si sqrt(2) est irrationnel

Posté par re : Logique_10 28-08-24 à 04:35

Bonjour,

(suite)
                1.     $\alpha-b=\frac{a+b\sqrt {2}}{1+ \sqrt {2}}=\frac{a-b}{1+\sqrt{2}}\neq0    car   a\neq b  donc   \alpha\neq b$

  2.   si   est rationnel, -b serait rationnel aussi or   -b= (a-b)/(1+2),  a-b est rationnel (différence de 2 rationnels) mais 1+2   car 2 ( on peut le démontrer)

Merci encore et par avance.

Posté par re : Logique_10 28-08-24 à 16:40

Bonjour,

Je voudrais votre correction.

Posté par re : Logique_10 28-08-24 à 19:09

Oui c'est ça, comme a et alpha sont différents de b, $\dfrac{a - b}{\alpha-b}$ est un réel bien défini et non nul.
Si $\alpha$ étant rationnel, cette quantité le serait aussi, comme quotient de rationnels non nuls ( $\Q$ est un anneau). Mais la quantité en question est égale à $1+\sqrt{2}$ , qui est irrationnel.
Absurde, donc $\alpha$ n'est pas rationnel