Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Préparation CRPE
Partager :

logique_11

Posté par
bouchaib 28-08-24 à 05:06

Bonjour,

   Soient x et y deux réels strictement positifs tels que  x+y=1.

1.Montrer que :

  
\frac{1}{xy}\geq 4 \\ \\       2.  En  déduire   que : \\ \\         (1+\frac{1}{x^2})(1+\frac{1}{y^2})\geq 25

  Réponses :
  
     \frac{1}{xy}-4=\frac{1}{x(1-x)}-4 \Rightarrow \frac{1}{xy}-4=\frac{1-4x+4x^2}{xy}=\frac{(2x-1)^2}{xy}\geq 0

Conclusion : (1/xy) 4.

Posté par
bouchaibre : logique 28-08-24 à 07:54

Pardon .

  2.   En  tenant  compte des données et de la réponse 1), la proposition à démontrer devient,

   (x+y+\frac{1}{x^2})(x+y+\frac{1}{y^2})=(x+y)^2 +\frac{x^3+y^3}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}+\frac{x+y}{xy}
  
   1+\frac{(x+y)^2-3xy}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{xy}=1+\frac{2}{x^2y^2}-\frac{2}{xy},

  On encadre cette quantité :
  
    \frac{2}{x^2y^2}\geq 32 \Leftrightarrow 1+\frac{2}{x^2y^2}\geq 32+1\Leftrightarrow 1+\frac{2}{x^2y^2}-\frac{2}{xy}\geq 33-\frac{2}{xy},

  si on remplace  le nombre 2/xy dans l'inégalité précédente 8 , on

peut écrire donc  que  1+\frac{2}{x^2y^2}-8\geq 33-8=25;
a-t-on le droit d'écrire ceci.

Merci par avance.

Posté par
carpediemre : logique 28-08-24 à 12:55

salut

1/ pourquoi cette implication au milieu et ne pas écrire tout simplement une suite d'égalités :

bouchaib @ 28-08-2024 à 05:06

\dfrac{1}{xy}-4=\dfrac{1}{x(1-x)}-4 =\dfrac{1-4x+4x^2}{xy}=\dfrac{(2x-1)^2}{xy}

or ... et ...

donc  (1/xy) 4.
et ne pas mélanger des = et des symboles d'inégalités en général

compléter ce qui suit or et et pour justifier l'inégalité et la conclusion

Posté par
carpediemre : logique 28-08-24 à 13:19

2/ ça me semble un peu laborieux mais exact ...

en fait non ça me semble faux : si a > 8 alors -a < -8 : on ne soustrait jamais des inégalités

\left( 1 + \dfrac 1 {x^2} \right) \left( 1 + \dfrac 1 {y^2} \right) \ge 1 + \dfrac 1 {x^2y^2} + \dfrac 1 {x^2} + \dfrac 1 {y^2}

la somme des deux premiers termes est supérieure à 17

avec x + y = 1 la somme des deux premiers termes est égale à :

\dfrac 1 x + \dfrac y {x^2} + \dfrac x {y^2} + \dfrac 1 y = \dfrac 1 {xy} + \dfrac {x^2 - xy + y^2} {x^2y^2} = \dfrac {(x - y)^2} {x^2y^2} + \dfrac 2 {xy}

maintenant on peut conclure

Posté par
bouchaibre : logique_11 28-08-24 à 15:08

Merci.

Posté par
bouchaibre : logique_11 28-08-24 à 16:15

Vous  voulez dire " la somme des deux derniers termes ..." sachant que x+y =1?
Merci

Posté par
bouchaibre : logique_11 28-08-24 à 16:21

Oui très bien comprise. Merci.

Posté par
carpediemre : logique_11 28-08-24 à 16:36

oui ensuite c'est "avec x + y = 1 ... derniers ..."

de rien

Posté par
thetapinch27re : logique_11 28-08-24 à 21:32

Bonsoir,

Juste pour compléter, 2 autres manières de répondre à la 2)

1- Cauchy-Schwarz directement avec u=[1, 1/x] et v=[1,1/y]

2- Les moyennes arithmétiques-géométriques:
(1+1/x²) = 1/x²(1/4 +1/4 +1/4 +1/4 +x²)5/(2x)8/5
Idem pour (1+1/y²) et donc (1+1/x²)(1+1/y²)25/(4xy)8/525

Bonne soirée

Posté par
flightre : logique_11 28-08-24 à 22:26

Bonsoir sinon avec l'IAG on a  :

en developpant d'abord  1+ 1/x² + 1/y² + 1/x²y² 25
on peut ecrire avec l'IAG que  1/x²+1/y² 2/xy
comme 1/xy 4 alors 1/x²y²16 et comme  1/xy4  --> 2/xy8
il suffit d'additionner les inégalités obtenues et donc  :
1+ 1/x² + 1/y² + 1/x²y² 1+8+16   et le compte y est

Posté par
alwafire : logique_11 29-08-24 à 14:04

Bonjour,
une autre méthode:
procéder par équivalences successives en suivant les étapes suivantes:
*passer - racine carrée de b à gauche de l'inégalité et
- racine carrée de a à droite de l'inégalité
*élever au carré les deux membres de la nouvelle inégalité
*simplifier puis élever au carré la nouvelle inégalité obtenue
*simplifier et on obtient b strictement inférieur à a.

Posté par
carpediemre : logique_11 29-08-24 à 14:08

alwafi : tu t'es trompé de sujet ...

Posté par
alwafire : logique_11 29-08-24 à 14:18

Bonjour carpediem,
tu as raison
merci de me l'avoir signalé
ma réponse concerne la question posé par bouchaib le 29/08/24 à
12:08

Posté par
Sylvieg Moderateurre : logique_11 29-08-24 à 19:15

Bonsoir,
Un départ niveau seconde pour 2) :

Soit P = \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) \left( 1+\dfrac{1}{y^{2}}\right) = 1+ \dfrac{1}{x^{2}y^{2}}+ \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}}
On a A2 + B2 2AB car (A-B)2 0.

D'où P \geq 1+ \dfrac{1}{x^{2}y^{2}} + \dfrac{2}{xy}
On peut alors utiliser 1).



Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !