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Logique

Posté par
bouchaib 13-01-24 à 20:30

Bonsoir,
Question :
    Soit (x,y)(R*+)2
tel que x2+y2=1.

Montrez que : 1<x+y<2.
Ma réponse :
   J'ai pensé résoudre cette question  par une série d'équivalences, mais j'ai un souci :  ai-je le droit de commencer par l'inégalité ,  1<x+y ?
Cette inégalité est fausse . Donc je suis bloqué.
Merci de m'orienter .

      

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Logique 13-01-24 à 21:39

Bonsoir bouchaib

en posant \Large\boxed{x=\cos\theta~,~y=\sin\theta~,~0<\theta<\frac{\pi}{2}} on a \Large\boxed{x+y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\sin(\theta+\frac{\pi}{4})} ...

Posté par
bouchaibre : Logique 13-01-24 à 21:44

Pardon
Ou, il faut l'a supposée  vraie puis par une série d'équivalences, vraies aussi, puis conclure que  .
Par cette méthode 1<x+y est vraie, aussi x+y<2 .
Je voudrais savoir est-ce que ceci est la signification du raisonnement par équivalence ?
Merci encore.

Posté par
bouchaibre : Logique 13-01-24 à 21:48

Bonsoir et merci.

Posté par
bouchaibre : Logique 13-01-24 à 21:56

Donc  x+y> 1, est vraie.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Logique 14-01-24 à 00:38

Si tu y tiens

Pour x,y\in\mathbb R_+^* tels que x^2+y^2=1 on a la succession d'équivalences :

\Large\boxed{1<x+y\leqslant\sqrt2 \Longleftrightarrow 1<(x+y)^2\leqslant2 \Longleftrightarrow 1<1+2xy\leqslant2 \Longleftrightarrow 0<xy\leqslant\frac{1}{2} } ...

Posté par
bouchaibre : Logique 14-01-24 à 01:16

Merci encore.

Posté par
flightre : Logique 15-01-24 à 11:21

Bonjour exercice interessant

pour la partie droite de l'inégalité  si on utilise l'inégalité de cauchy shwartz en posant comme vecteurs u(x,y) et  v(1,1)  il vient  
x+y (x²+y²).2
soit  x+y 2  car x²+y²=1.

Posté par
carpediemre : Logique 15-01-24 à 17:57

salut

si x et y sont strictement positifs et vérifient x^2 + y^2 = 1 alors :

x^2 + y^2 = 1 \Longrightarrow (x + y)^2 = 1 + 2xy \Longrightarrow (x + y)^2 > 1 \Longrightarrow x + y > 1

x^2 + y^2 = 1 \Longrightarrow x^2 + y^2 + x^2 +y^2 = 1 + 1 \Longrightarrow (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2 \Longrightarrow (x + y)^2 < 2 \Longrightarrow x + y < \sqrt 2

Posté par
GBZMre : Logique 15-01-24 à 18:02

Bonjour,
Carpediem, tes inégalités strictes de la dernière ligne sont erronées (prends x=y=\sqrt2/2).

Posté par
carpediemre : Logique 15-01-24 à 18:08

merci GBZM : effectivement il faut distinguer le cas x = y (qui se résout immédiatement)

mais donc l'énoncé est faux !! ce qui m'a conduit à manquer de rigueur

encore merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Logique 15-01-24 à 18:16

\bullet Oui flight avec le cas d'égalité \Large\boxed{x=y=\frac{1}{\sqrt2}}.

\bullet Et comme \Large\boxed{\left[x,y>0~\underline{et}~x^2+y^2=1\right]~ \Longrightarrow~0<x,y<1},

on voit que \Large\boxed{x^2<x~~\underline{et}~~y^2<y} et donc \Large\boxed{x^2+y^2=1<x+y}.


\bullet On peut aussi utiliser la (stricte) concavité de la fonction x\mapsto\sqrt{1-x^2} sur ]0,1[

qui donne \Large\boxed{\forall x\in]0,1[~,~\underbrace{1-x}_{corde}<\sqrt{1-x^2}\leqslant\underbrace{\sqrt2-x}_{tangente}}.


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