Niveau Préparation CRPE

Logique

Posté par
bouchaib 22-05-24 à 14:13

Bonjour,
       Question :
Montrer l'équivalence suivante,

$(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (non A \Leftrightarrow non B)$ .
Réponse :
   La proposition A est équivaut à B signifie qu'elles sont toutes 2 fausses ou toutes 2 vraies donc elles ont la même valeur de vérité.
Alors leur négation le sera aussi : non A aura la même valeur de vérité que non B.
Donc : l'équivalence des 2 équivalences est aussi vraie.
Merci par avance.
Je voudrais savoir s'il fallait d'un texte mathématique ou c'est aussi une bonne réponse.

Posté par re : Logique 22-05-24 à 17:08

salut

il est difficile de savoir ce qui est exactement attendu ...

ainsi en terme de table de vérité les tables de vérités des propositions $A \iff B$ et $\bar A \iff \bar B$ sont les mêmes donc il y a équivalence entre ces deux propositions (et c'est pas loin de ce que tu dis)

on peut revenir aussi à la double implication et équivalence avec la contraposée donc :

$(A \iff B) \iff [(A \Longrightarrow B) $ et $ (A \Longleftarrow B)] \iff [ \bar A \Longleftarrow \bar B) $ et $ (\bar A \Longrightarrow \bar B) ] \iff (\bar A \iff \bar B)$

Posté par re : Logique 22-05-24 à 17:13

Merci beaucoup.

Posté par re : Logique 22-05-24 à 20:05

Sinon, tu peux aussi passer par du calcul propositionnel en te souvenant que $x \implies y = \bar{x} \vee y$ .

Alors $\begin{array}{lcl} \\ \bar{A} \iff \bar{B} &=& (\bar{B} \implies \bar{A}) \wedge (\bar{A} \implies \bar{B}) \\ &=& (B\vee \bar{A}) \wedge (A\vee \bar{B}) \\ &=& (\bar{A}\vee B) \wedge (\bar{B}\vee A) \\ &=& (A \implies B) \wedge (B \implies A) \\ &=& A \iff B \\ \end{array}$