Il faut avoir xT(y+z)=xTy+xTz pour tous x,y,z réels donc en remplaçant...

Je ne vois pas a quoi faire correspondre z... Si j'ai xTy=xa+yb+ g , je ne vois pas ce que peut être xTz

xTy = x+y+
xTz = x+z+
xT(y+z) = x+(y+z)+

donc xTy + xTz = xT(y+z) équivaut à ?...

puis idem avec distributivité à droite

Merci j'avais aussi du mal avec le gamma. Donc celui ci fait parti de cette loi T, peu importe les variables de part et d'autres de T.
Et si j'ecrivais que yTx= ay+bx+gamma ? C'est exact ?

Distributivité a gauche :

xTy + xTz = xT(y+z) équivaut à : ax+by+g + ax+bz+g = ax+(y+z)b+g

A droite :

zTy + xTy = (x+z)Ty équivaut à : az+by+g + ax+by+g = (x+z)a+by+g

Pour que la loi soit associative il faut que : ax = (x+z)a
et que (y+z)b = by

C est bien ça ?

Pour que la loi soit distributive il faut avoir ax+by+g + ax+bz+g = ax+(y+z)b+g  pour tous réels x, y et z.

En appliquant à z=1 et x=y=0, tu obtient 2g=g ce qui prouve que g=0. Tu peux montrer de la même manière que a et b doivent être nuls également.

La loi est donc distributive si et seulement si a=b=g=0.

Je me suis d'abord référé a la correction de mon livre. Ce n'est pas plus clair pour autant concernant les valeurs de x et z. Je comprends qu'on cherche a résoudre une équation en réunissant les membres du même cote de l'égalité :

Ce qui donne :

(x+y)Tz - xT(y+z) = 0

Ce que je ne comprends c'est que dans mon livre on dit que c'est vrai seulement si :
On donne x=z=0, puis x=0 et z=1, puis x=1 et z=0

Pourquoi le cas ou l'on donne x=1 et z=1 n est pas donne ?

D'où sort l'égalité (x+y)Tz - xT(y+z) = 0  ?

Dans mon précédent message je t'ai donné la solution. N'oublie pas que les inconnues sont a,b et g, et non pas x,y et z.

Merci c est compris. Par contre ma dernière question concernait comment montrer l'associativité en fait.

En calculant (x+y)Tz - xT(y+z) = 0

Cela donne après réduction:

a(a-1)x-b(b-1)z+g(a-b)=0

La correction dit que c'est vrai dans les cas ou on donne :

x=z=0, puis x=0 et z=1, puis x=1 et z=0

Pour x=z=0 ça me parait évident, par contre les autres je n'arrive pas a le déduire...

Tu obtiens a(a-1)x-b(b-1)z+g(a-b)=0

Pour que cette expression soit nulle indépendamment de x et z, il faut avoir a(a-1) = 0, b(b-1) = 0 et g(a-b)=0.

On a donc a = 0 ou 1 et b = 0 ou 1 également. D'après la dernière condition, soit g est nul, soit a=b.

On a donc les cas suivants :

si g = 0, (a,b) = (0,0) ou (1,0) ou (0,1) ou (1,1)

si g 0, a = b = 0 ou a = b = 1

Mais comment peut on être sur sans le vérifier que x et z ne peuvent pas prendre d 'autre valeurs que 0 et 1 , par exemple choisi au hasard :

a(a-1) = -5  et  b(b-1) = 5 et g(a-b)=0 donnerait une expression nulle ?

Aie je disai des betises la Ce que je voulai dire c'est pourquoi doit on avoir a(a-1) = 0, b(b-1) = 0 et g(a-b)=0.
Et ne peut on avoir : a(a-1) = -5  et  b(b-1) = 5 et g(a-b)=0 par exemple ?

En fait tout qui ferait que a, b et x et z aurait d'autre valeurs que 0 et 1 ?

x, y et z peuvent prendre N'IMPORTE QUELLES VALEURS réelles, pas seulement 0 ou 1.

Si a(a-1)=-5 et b(b-1)=5, on aurait -5 x - 5 z + constante = 0 pour tous réels x et z, ce qui est absurde.

Pour que a(a-1)x-b(b-1)z+g(a-b) soit toujours égal à 0 pour n'importe quels x et z, il faut "absorber" le x et le z, donc les coefficients qui sont devant doivent être nuls. D'où mon calcul.

Exercice résolu, merci
J'ai donc commence le suivant :
Soit a,b,g appartenant a R tel que ab differant de 0, on considère la loi interne sur R note T :
x,y RR  xTy = a(xy)+b(x+y)+g
1) Comment choisir a,b,g pour que la loi soit associative?

Pour le début je vois comment faire, je calcule (xTy)Tz. Par contre dans la solution, il est dit que pour faire xT(yTz) pas besoin faire pareil je cite :
On remarque que xT(yTz)= (yTz)Tx car la loi T est commutative. On remplace x par y, y par z etc
Je ne le remarque pas aussi facilement... Dans le précédant exercice la loi était commutative aussi ou je me trompe ?

Non, la loi précédente n'était pas commutative (sauf si a = b).

En effet j avais encore confondu x,y et a,b

J'ai continue l'exercice suivant et j'ai des questions concernant les choix a faire pour des développement et factorisation ou j'ai un peu de mal donc pas de lien forcement avec le titre du post (merci de me dire au passage si j'aurai du en ouvrir un autre ):
L'énoncé :
Soit a,b,g dans R tel que ab diff de 0
Pour tout x dans RR xTy = axy + b(x+y) + g
A) Comment choisir a,b,g pour que cette loi soit associative

Donc je calcule (xTy)Tz :

a(axy+b(x+y)+g)z+b(axy+ b(x+y)+g+z)+g

Ensuite je fais de même avec xT(yTz) et ensuite je calcule (xTy)Tz = xT(yTz)

En simplifiant tout ça j'ai:

b²x+(ag+b)z = (ag+b)x+b²z

Et c'est la que j'ai un peu plus de mal, que dois je me dire pour simplifier ça de manière a répondre a la question 1 ? Que dois je remarquer ?

Je peux faire et tente d'isolé (ag+b):

b²(x-z)(z-x)(ag+b) = 0
Mais ensuite comment je fais avec les x et z ?

Je peux faire aussi en tentant d'isolé x et z :

x(b²-ag-b)-z(b²+ag+b) <=> (x-z)(b²-ag-b)(b²+ag+b)

Mais je me retrouve avec (b²-ag-b) et (b²+ag+b)... Donc que faire ?

Enfin une dernière question, je vois souvent écrit des expressions ou après factorisation on voit par ex :

a(a-1)x - b(b-1)z plutôt que : ax(a-1)- bz(b-1)

Y t il un intérêt a l'écrire de la première façon plutôt que la seconde ?

Tu trouves comme condition nécessaire à l'associativité : b²x+(ag+b)z = (ag+b)x+b²z  pour tous réels x,z, c'est-à-dire (b²-ag-b)x = (b²-ag-b)z pour tous x, z.

Ceci implique b²-ag-b = 0 c'est-à-dire b²=ag+b

Réciproquement si b²=ag+b la première égalité s'écrit b²(x+z)=b²(x+z) qui est évidemment toujours vraie.

La condition nécessaire et suffisante d'associativité est donc b²= ag + b.

Ton erreur vient du fait que ta ligne de calcul b²(x-z)(z-x)(ag+b) = 0  est fausse.

Quant à ta dernière question, la réponse est non.

Merci, j'ai du mal sur les simplifications en général, la en partant de:
b²x+(ag+b)z = (ag+b)x+b²z
je devais pouvoir arrive a simplifie en :
b²x+(ag+b)z = (ag+b)x+b²z  <=> (x-z)(b²-ag-b)=0
Mais je faisais une erreur de signe que je pense avoir compris a l'instant en factorisant (b²-ag-b) avec z.
La c'est bon . Je peux passer aux questions suivantes.

Je suis passe a la question suivante de ce même exercice qui demande :
Démontrer que la loi possédè un élément neutre e que l'on calculera en fonction de a et de b.
Je calcule avec e et j'arrive a : (ae+b-1)x+be+g=0
Et la je reviens a une question que je m'étais déjà posée. Et qui va j'espère m'aider a résoudre ce problème de compréhension :

Je sais qu'il est demande de trouver (ae+b-1)=0 et be+g=0, ce qui me permet de trouver l'élément e ensuite que j'ai d'ailleurs calcule.

Mais même si c'est une condition pour que (ae+b-1)x+be+g=0 , il y a d'autres cas comme par ex (ae+b-1)= -5 et be+g=5 ou ab diff de 0.

Pourquoi ne tient on pas compte de ces cas ci ? Et cherche on seulement a avoir a chaque fois un découpage en plusieurs somme égales a 0 ?
Est ce parce qu'on retrouve deux "e" dans l'expression (ae+b-1)x+be+g=0 et qu'on la "découpe en deux" pour trouver ce "e" , (ae+b-1)=0 et be+g=0  ?

D'où vient le -1 ? La condition n'est-elle pas plutôt (ae+b)x + (be+g) = 0 ?

Quoi qu'il en soit tu tombes sur une égalité de la forme Ax + B = 0, où A et B ne dépendent pas de x.

Ax + B devant être nul pour tout x, il faut forcément que A et B soient nuls tous les deux !

Si comme tu le proposes A = -5 et B = 5, il est clair que -5x + 5 n'est pas nul pour tout x (seulement pour x=1).

Je m'emmêle toujours un peu avec les x et les a,b,g... Avec quelques exercices j'espère que ça me paraitra plus évident.
Pour le -1 car : axe+b(x+e)+g=x , je fais passe le x a gauche: (ae+b-1)x+be+g=0
Quant on voit dans un énoncé que : quelque chose comme "est vrai en particulier pour x=0 et x=1", ça sous entend qu'en vérifiant pour x=1 et 0 ça vérifie toute les autre possibilités en fait ?

Au temps pour moi, tu as raison pour le -1.

Par contre tu n'as toujours pas bien compris que comme ton expression Ax+B doit être nulle pour tout x, tu peux prendre les valeurs qui t'arrangent pour en déduire des informations sur a, b et g.

Au lieu de prendre x = 1 et x = 0 on pourrait très bien prendre x = et x = 1/3 et on arriverait à la même conclusion, mais avec des calculs inutilement compliqués.

J'ai compris, merci. Par contre je bloque maintenant sur la 3eme question du même exercice...  J'espère que les suivants seront moins laborieux.
La question est : Étudier l'existence d'un symétrique x' de x pour la loi T.
Ma premiere question d'ordre general est : que veut on dire exactement par "étudier" ? Le terme me parait vague
Sinon je sais que pour vérifier la symétrie c'est xTx'=e
Je fais axx'+bx+bx'+g= e
Je me débarrasse du g donc en sachant que e= -g/b = 1-b/a ,ce qui donne :

x'(ax+b) = [(1-b)/a] -bx +[(-b+1)/a] ce qui donnerai  x' = [(1-b)-bxa +[(-b+1)]/ [a(ax+b)] = [-b(3+ax)+2 ]/ a(ax+b)

Si je prends e= (-b²-b)/ab j'ai :

x'(ax+b) = (-b(2b+ax+b)+1)/a ce qui donnerai  x' = [(-b(2+ax+b)+1)]/ [a(ax+b)]


Mais ensuite quant je regarde la solution j'ai ça :

(ax+b)x' = (-abx-b²+1)/a           (avec indiqué sur la même ligne : compte tenu que b²=ag+b donné dans question 1)
Si x diff de -b/a le symétrique est x'= -abx-b²+1 / a(ax+b)
Si x= -1b/a x' = 1/2 ce qui est impossible.


Ce que je trouve ne correspond pas vraiment il me manque 2b au numérateur que j'ai dans [(-b(2+ax+b)+1)]/ [a(ax+b)] .Comment aborder ce calcul et le vérifier ensuite ? Car j'ai souvent ce genre de difficultés.

Pas d'accord avec x'(ax+b) = [(1-b)/a] -bx +[(-b+1)/a]

On a g = b(b-1)/a donc x'(ax+b) = e - bx - g = [(1-b)/a] - bx  - b(1-b)/a

c'est-à-dire x'(ax+b) = (1-b)²/a - bx

Pas de solution effectivement si x = -b/a

Si x différent de -b/a alors x'=((1-b)²-abx)/a(ax+b)

sauf erreurs de calcul...

Je n'arrive pas a trouver le résultat sous la forme donnée dans la solution. C est a dire : (ax+b)x' = (-abx-b²+1)/a ... Je me retrouve a chaque fois avec (-abx-b²+1-2b)/a Donc avec ce 2b en plus au numérateur ...

N'y a t'il pas une erreur dans votre calcul : "On a g = b(b-1)/a donc x'(ax+b) = e - bx - g = [(1-b)/a] - bx  - b(1-b)/a " ; ne devrait t'on pas avoir  -b(b+1)/a ?

Oui désolé j'ai fait une erreur de signe :

On a g = b(b-1)/a donc x'(ax+b) = e - bx - g = [(1-b)/a] - bx + b(1-b)/a

c'est-à-dire x'(ax+b) = (1-b)(1+b)/a - bx

Pas de solution effectivement si x = -b/a

Si x différent de -b/a alors x'=(1-b²-abx)/a(ax+b)

ce qui correspond bien à ta correction.

Par contre je ne vois pas d'où vient ton 2b.

Je fais en prenant g= -b²-b/a :
x'(ax+b) = e - bx - g = [(1-b - bxa - b²- b)/a ] = [(1-2b - bx - b²)/a ]

Erreur de signe pour toi aussi : g= (b²-b)/a

donc x'(ax+b) = e - bx - g = [(1-b - bxa - b²+ b)/a ] = [(1- abx - b²)/a ]

Ah oui ! Je prenais le signe - de devant la barre de fraction sans changer le signe de b ensuite

Ça arrive... un peu fastidieux ces calculs !

En relisant la correction je vois quelque chose quelque chose de curieux:

(xTy)Tz = a[axy+b(x+y)+g]z+b[axy+b(x+y)+g+z]+g
(xTy)Tz = a²xyz+ab(xy+yz+zx)+b²x+b²y+(ag+b)z+by+g

Comment fait on pour trouver ab(xy+yz+zx) ? D'ou vient le abxy ?
C'est important pour simplifier ensuite puisqu'on arrive a :

(xTy)Tz = xT(yTz)
b²x+(ag+b)z = (ag+b)x+b²z

Seulement si on ab(xy+yz+zx) du coup, non ?

En fait je trouve bien : b²x+(ag+b)z = (ag+b)x+b²z
Mais je ne vois pas comment faire apparaitre ab(xy+yz+zx) ...

En partant de (xTy)Tz = a[axy+b(x+y)+g]z+b[axy+b(x+y)+g+z]+g

si tu développes tout, tu auras bien un terme abxy (enfin baxy), un terme abyz et un terme abzx.

Ensuite tu factorises par ab.

En effet, ça ne me saute pas encore aux yeux ce genre de subtilités
C'est intéressant de développer pour ensuite factoriser ? Faut déjà avoir une idée en tête quant on fait ça j'imagine.
La par exemple je ne vois pas l'intérêt de factoriser a la fin...

Effectivement dans ce cas la factorisation n'est pas hyper utile.

Bonjour ,

J'ai une question a nouveau concernant la partie stable d'une loi;
Une loi interne notee croix :
(x,y) croix ( x',y') = (xx',yy')
A la question 1 et 2 ; J'ai demontrer qu'elle est associative et commutative. J'ai trouver les elements possedant un symetrique.
Question 3 :  Demontrer que S=R croix {0} est une partie stable de ( R croix R , croix), la partie stable possede t elle un element neutre pour la multiplication des couples ?

Ma question tout d abord concerne la signification de S=R croix {0} ? Surtout que signifie {0} ?  
Ensuite ( R croix R , croix) , ca decrit la loi interne R croix R mais que signifie la virgule avec croix ensuite ?

Quelqu'un peut il m'aider svp ?