Niveau Licence-pas de math

Loi forte des grands nombres

Posté par
Jolenelou 09-02-21 à 00:57

Bonsoir,

J'essaye de résoudre l'exercice suivant:

$\large Montrer \: que \: \frac{2}{n(n+1)}\sum_{1}^{n}{kX_k} \: converge \: en \: proba \: vers \: E(X1) \: quand \: n \: tend \: vers \: +\infty[$ sachant \: que \: (X_n) \: est \: suite \: de \: variables \: aléatoires \: iid \: de \: carre \: integrable$

J'ai résolu l'exercice en appliquant la définition de la convergence en proba. Cependant, je me demande s'il y a possibilité d'appliquer la loi forte des grands nombres en considérant une nouvelle variable

Merci

Posté par re : Loi forte des grands nombres 09-02-21 à 11:59

Si on appelle $S_n$ ta somme,

$(n+1)(n+2)S_{n+1} = n(n+1)S_n + 2(n+1)X_{n+1}$

Donc $(n+2)S_{n+1}-nS_n = 2X_{n+1}$

En sommant entre $n = 0$ (avec $S_0=0$ et $n=N-1$ , puis en divisant par $N$
$\dfrac1N\sum_{k=1}^N S_k + S_N = \dfrac2N\sum_{k=1}^N X_k \xrightarrow[p.s]{} 2E(X_1)$ .

Montre que $S_N$ converge presque sûrement (ou en proba si tu veux, ou même en loi. Si tu es plus avancé, je rappelle que la convergence se fait vers une constante et R est séparable et complet donc la convergence en loi est métrisable (Prokhorov)). Borel-Cantelli ?

Ceci fait, le lemme de Cesaro nous dira que $\dfrac1N\sum_{k=1}^N S_k$ converge (ps/en proba) en loi vers la même limite et donc que $S_N$ converge en loi (et en proba (Slutsky)) vers $E(X_1)$