Niveau exercices

loi normale

Posté par
flight 09-10-22 à 14:41

bonjour

je vous propose l'exercice suivant ...( assez simple )
soit une variable aléatoire X suivant la loi normale de parametres µ
et d'ecart type , Quelle est la loi de Y=(1- X)ⁿ avec n>0 ?

Posté par re : loi normale 09-10-22 à 14:43

...et quelle est son esperance ?

Posté par re : loi normale 10-10-22 à 17:11

Salut,
ça ne me paraît pas si simple.

On remarque que 1-X suit une loi normale d'espérance $1-\mu$ et de variance $\sigma^2$ ce qui donne facilement le résultat demandé pour n=1.

Pour n=2 on a $E(Y)=(1- \mu)^2+\sigma^2$ et on peut exprimer la loi de Y avec un $\chi^2_1$ .

Pour la suite je ne vois pas de calculs simples.

Posté par re : loi normale 10-10-22 à 18:49

Effectivement l' espérance n'est pas simple à calculer

Posté par re : loi normale 14-10-22 à 19:37

En fait j'aimerais bien avoir une réponse à la question de départ.
On pose Z=1-X.
Il est clair que Z suit une loi normale.
J'aimerais bien avoir une formule close donnant E(Zⁿ) en fonction de E(Z), V(Z) et n.

Posté par re : loi normale 14-10-22 à 20:59

Bonjour verdurin,

cela dépend de ce qu'on appelle "formule close".

En introduisant la variable $T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ qui suit la loi normale centrée réduite et pour laquelle on a $E(T^{2k+1})=0$ et $E(T^{2k})=\dfrac{(2k)!}{2^kk!}$ on obtient :

$E(Z^n)=E((1-\mu-\sigma T)^n)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(1-\mu)^{n-2k}\sigma^{2k}\dfrac{n!}{2^k k!(n-2k)!}$ .

C'est bien en fonction de $E(Z)=1-\mu$ et $V(Z)=\sigma^2$ mais je ne pense pas qu'on puisse simplifier cette expression.