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Majoration d'une intégrale...

Posté par
blang 14-07-09 à 18:34

Re-bonjour

Soit 3$ f une fonction réelle deux fois dérivable sur un intervalle 3$\text{I}= [a;b] (a<b). On suppose que 3$ f^{''} \geq \lambda >0 sur 3$ \text{I}.
Prouver que 3$ \left| \int_a^b e^{if(t)} \text{d}t \right| \leq \frac{8}{\sqrt{\lambda}}

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 11:44

Bonjour

C'est un exo issu du Calcul infinitésimal de Jean Dieudonné. Pour ceux qui sècheraient et qui auraient cette bible, il y a une indication avec l'énoncé

Posté par
infophilere : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 12:04

Bonjour

J'ai pas eu le temps de beaucoup chercher mais je veux bien l'indice.

Il y a du TAF ou du Jensen là dessous non ?

Posté par
matovitchre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 12:09

Bonjour blang !
Je passe en sup, donc je n'ai certainement pas le niveau pour faire ça, mais j'aimerai savoir si les intégrales complexes correspondent à quelque chose en matière de module ou d'argument.

Ça me fait un peux penser aux vecteurs qu'on intègre en physique.Ici on intègrerai une position en fonction du temps,
ça donnerais une position moyenne, centre de gravité d'un arc de cercle ayant une densité linéaire variant en fonction de f' (la vitesse).

Mais la je crois que je délire...j'ai trouvé peu de chose sur internet ().

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 13:21

Kévin>

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matovitch>

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Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 13:23

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Posté par
Mariette Correcteurre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 13:32

salut

rhâa j'ai prêté mon Dieudonné ! Faut me prévenir en avance de ce genre de piège !

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 13:51

Prêter mon Dieudonné, même sous la torture, je ne le ferai jamais

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 14:00

matovitch>

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Posté par
matovitchre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 14:04

Blang >

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blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 14:20

matovitch>

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matovitchre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 14:31

Bon, je me suis mal exprimé.

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Posté par
Mariette Correcteurre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 14:52

@blang : que veux-tu, la famille....


Sinon, j'ai effectivement trouvé la même chose que matovitch

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Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 15:04

matovitch>

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Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 15:09

Mariette> C'est vrai que côté famille, tu es un peu cernée, toi Enfin, je dis ça et on va croire qu'on se connaît, ça va jaser

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 15:21

Mariette>

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Posté par
1 Schumi 1re : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 16:09

Enfin, je dis ça et on va croire qu'on se connaît, ça va jaser >> Entre temps, t'as pas nier là...

Posté par
Mariette Correcteurre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 16:38

Va falloir que je demande à T_P un smiley :chut: pour blang On se connait tu crois ?

Posté par
Mariette Correcteurre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 17:24

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Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 16-07-09 à 21:59

Demain, dans la journée, je posterai l'indication exacte de Dieudonné

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 17-07-09 à 08:13

Bonjour

Voici donc l'indication exacte (et bien utile) de Dieudonné :

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Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 21-07-09 à 14:24



Personne n'est tenté par cette petite friandise analytique ?

Posté par
Mariette Correcteurre : Majoration d'une intégrale... 23-07-09 à 17:49

bon ben j'ai bien tourné en rond et, à part de zolies erreurs de calculs, j'ai pas trouvé grand chose...

Posté par
blangre : Majoration d'une intégrale... 24-07-09 à 18:17

Bonjour

Allez, un peu de courage, je tape ma soluce :

-- Je vais montrer que si 3$ f^' est positive sur 3$ [a;b], alors 3$ \left| \int_a^b e^{if(t)}\text{d}t \right| \leq \frac{4}{\sqrt{\lambda}}.
Ce résultat suffira à répondre à la question initiale ; en effet d'une part si 3$ f^' est négative sur  3$ [a;b], on aura 3$\left| \int_a^b e^{if(t)}\text{d}t \right| =\left| \overline{\int_a^b e^{if(t)}\text{d}t} \right|= \left| \int_a^b e^{-if(t)}\text{d}t \right| \leq \frac{4}{\sqrt{\lambda}} et d'autre part, dans le cas général, si 3$ f^' s'annule (une seule fois car 3$ f^' est strictement croissante et continue) en  3$ c \in [a;b], 3$ f^' sera négative (resp. positive) sur  3$ [a;c] (resp.  3$ [c;b]) et on pourra donc, en passant par c, majorer 3$ \left| \int_a^b e^{if(t)}\text{d}t \right| par 3$ \frac{4}{\sqrt{\lambda}}+\frac{4}{\sqrt{\lambda}}=\frac{8}{\sqrt{\lambda}}.

-- Plaçons-nous désormais dans le cas où 3$ f^' est positive sur 3$ [a;b].
Remarquons que 3$\left| \int_a^b e^{if(t)}\text{d}t \right| \leq \int_a^b | e^{if(t)} | \text{d}t =b-a. Dans le cas où 3$ b-a\leq \frac{2}{\sqrt{\lambda}}, on a donc clairement 3$ \left| \int_a^b e^{if(t)}\text{d}t \right| \leq \frac{4}{\sqrt{\lambda}}.
Supposons donc que 3$ b-a > \frac{2}{\sqrt{\lambda}}. Notons, vu la stricte croissance de 3$ f^', que 3$ f^' >0 sur 3$ \left[ a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}};b\right].
On a 3$ \bigint_a^b e^{if(t)}\text{d}t=\bigint_a^{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}} e^{if(t)}\text{d}t+\bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b e^{if(t)}\text{d}t   (#)
Intégrons par parties : 3$ \bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b e^{if(t)}\text{d}t=\bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b -\frac{i}{f^'(t)}i f^'(t)e^{if(t)}\text{d}t=\left[ -\frac{i}{f^'(t)}e^{if(t)} \right]_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b-i\bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b \frac{f^{''}(t)}{f^'(t)^2}e^{if(t)}\text{d}t
d'où 3$ \left| \bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b e^{if(t)}\text{d}t \right| \leq \frac{1}{f^'(b)} + \frac{1}{f^' \left( a+ \frac{2}{\sqrt{\lambda}} \right)}+\bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b \frac{f^{''}(t)}{f^'(t)^2} \text{d}t .
Or comme 3$ f^{''} \geq \lambda, on a si 3$ t \geq a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}} : f^'(t)-f^'(a) \geq \lambda (t-a) \geq \lambda \times \frac{2}{\sqrt{\lambda}}=2 \sqrt{\lambda} donc 3$ f^'(t) \geq 2 \sqrt{\lambda} vu que 3$ f^'(a) \geq 0.
Par conséquent,  3$ \left| \bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b e^{if(t)}\text{d}t \right| \leq \frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} + \frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} +\bigint_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b \frac{f^{''}(t)}{f^'(t)^2} \text{d}t=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}+\left[ -\frac{1}{f^'(t)} \right]_{a + \frac{2}{\sqrt{\lambda}}}^b \leq \frac{1}{\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}}+\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}}= \frac{2}{\sqrt{\lambda}}
et finalement d'après (#) :  3$ \left| \int_a^b e^{if(t)}\text{d}t \right| \leq \frac{2}{\sqrt{\lambda}} + \frac{2}{\sqrt{\lambda}} = \frac{4}{\sqrt{\lambda}}     C.Q.F.D.A.E.D.F.P.*

_________________

* Ce qu'il fallait démontrer aux erreurs de frappe près.


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