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Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 12-04-18 à 10:39

Bonjour tout le monde, je continue toujours les recherches et j' avance. Mais j'ai une question a propos du forum:

   A mon inscription, j'ai envoyé une question mais j' au du mal a la trouver? Y a t- il un moteur pour faire les recherches. Je n' ai pas renvoyer car les envoies mutiples sont interdits.
Sinon la question etait de determiner le maximum de la fonction à 3 inconnus:

                 xyz/ [(x+1)(x+y)(y+z)( z+16).

Moi j'ai trouvé 1/81 mais je ne sais pas si c'est vrai.

*** message déplacé ***

Posté par
Seconde2000
re : Équation à trois inconnues 12-04-18 à 10:41

Excuser le crochet est à fermer. Evidemment x, y et z sont des reels positifs non nuls. C' est une question olympiade suisse.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Équation à trois inconnues 12-04-18 à 11:06

Bonjour,
Normalement, en cliquant sur "Mes messages" dans le bandeau tout en haut, on a accès à ses propres messages.
Soit tu l'as posté avec un autre pseudo, soit tu ne l'as pas envoyé. En effet, en cliquant sur ton icone, on a accès à tous tes messages. Et il n'y est pas.
Un conseil : Le reposter.

*** message déplacé ***

Posté par
lake
re : Équation à trois inconnues 12-04-18 à 11:27

Bonjour,

Pour 10h39:

Oui, \dfrac{1}{81} atteint pour:

  x=2 , y=4 et z=8



*** message déplacé ***

Niveau algorithmique
Partager :

Majoration Inéquation

Posté par
Seconde2000
12-04-18 à 13:27

Voici le probleme posé lors d' une olympiade en Suisse.

Determiner le minimum de l'expression:

  XYZ/ [(X+1)(X+Y)(Y+Z)(Z+16)] ?

malou edit >

Citation :
S' il te plait lake, peux tu ne fournir une demonstration rigoureuse et complète?

Posté par
malou Webmaster
re : Majoration Inéquation 12-04-18 à 13:31

Seconde2000, j'ai tout regroupé sur un nouveau sujet

Posté par
Seconde2000
re : Majoration Inéquation 12-04-18 à 14:07

J'au eu non bac science math mais j' ai pas fait les math sup, j' arrive à avancer grace aux cours des olympiades. Voici ma resolution et je me demande si c'est correct car seule la demonstration importe en mathematique.

En observant le denominateur, je ramarque que x +1 et z+16 degamme. Alors je me suis dit qu' il faut faire tendre les expressions x+y et z+y vers l' une des expressions d' en haut et après voir l' évolution.  En posant y=x^2 et z=x^3 le dénominateur devient:
  x^3 (x+1)^3 (x^3+16) et le numerateur devient x^6 donc la fonction devient :
         X^3/[(X+1)^3 (X^3 + 16)]
et après derivation on a au numerateur
16-x^4 d' ou x=2 est un maximum car la limite de la fonction en 0 et infini vaut 0.

et en remplacant x par 2 dans l' expression j' ai 1/81 et ceci me donne  l' admissibilité de 1/81. Et pour verifier qu' il n'y a pas de valeur plus grand, j' applique IAG a chaque terme du dénominateur de l" expression originelle  comme ceci:

X+1= X/2+ X/ 2 +1>= 3. (X^2 /4)^ 1/3
X+Y= Y/ 2+Y/2+X>= 3. (X. Y^2 /4)^ 1/3
Z+Y= Z/ 2+Z/2+X>= 3. (Y. Z^2 /4)^ 1/3
Z+16= 8 +8 +Z>= 3. (64 Z)^ 1/3

Et en muktipliant membre à membre on a:
(x+1)(x+y)(z+y)(z+16)>= xyz . 3^4
D' où

xyz/ [(x+1)(x+y)(y+z)( z+16) >= 1/3^4

Et l' égalité est atteinte ssi
x/ 2=1      y/2=x      z/2=y     et      z=8   ce qui donne z=2y=4x=8 donc z=8 y=4 x=2.
Je rappelle qu' en redressant suivant z+16 on arrive au même résultat sauf qu' il y a bcp de complication sur les puissances de 16.

Est ce que c'est rigoureux comme rédaction?

Posté par
lake
re : Majoration Inéquation 12-04-18 à 14:39

Bonjour,

Tout le début est inutile; on peut se limiter à ceci:

Citation :
j' applique IAG a chaque terme du dénominateur de l" expression originelle  comme ceci:

X+1= X/2+ X/ 2 +1>= 3. (X^2 /4)^ 1/3
X+Y= Y/ 2+Y/2+X>= 3. (X. Y^2 /4)^ 1/3
Z+Y= Z/ 2+Z/2+X>= 3. (Y. Z^2 /4)^ 1/3
Z+16= 8 +8 +Z>= 3. (64 Z)^ 1/3

Et en muktipliant membre à membre on a:
(x+1)(x+y)(z+y)(z+16)>= xyz . 3^4
D' où

xyz/ [(x+1)(x+y)(y+z)( z+16) >= 1/3^4


Avec égalité pour x=2,y=4,z=8  

C'est très bien!

Posté par
lake
re : Majoration Inéquation 12-04-18 à 14:52

Juste le sens de l'inégalité à changer dans la dernière ligne, mais c'est une faute de frappe

Posté par
Seconde2000
re : Majoration Inéquation 12-04-18 à 15:00

Merci lake, la première partie c' etait pour rechercher le bon chiffre. Merci et vous me rassurez, je peux retourner à notre équation  cubique.

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