Bonjour,

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il ne peut donc pas exister d'anti-palindrome comportant le chiffre 0 ...

1) 5, 19, 91, 37, 73

2) la somme de ses chiffres est donc 30, divisible par trois
tout anti-palindrome de 6 chiffres (et d'un nombre de chiffres pair multiple de 3) est un multiple de 3

3) le chiffre du milieu est 5

4) le fait qu'ils doivent être premiers impose une recherche exhaustive (pénible à la main, ou par ordinateur, à suivre)

5) 1125899 et 9965411 sauf erreur

Bonjour,
Merci LittleFox d'animer

@mathafou : 91 n'est pas très premier
Par ailleurs, il est sous-entendu dans la question 1) qu'il n'y en a que 4.

Mais je confirme ta réponse pour 5).

Bon, je pense qu'il s'agit d'une erreur de frappe pour 91 , vu le début de ta réponse au 4).

Bonjour,
J'aime bien

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Je donne jusqu'à1000
19 37  73 109 139 149  179  199  307  317  337 347 397  733 743 773 911 941 971 991

dpi :

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0 n'a pas une somme avec lui-même de 10, etc
en fait il n'y a aucun anti-palindrome de 3 chiffres

Suite

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Comme les nombres premiers à 6 chiffres "antipalindromes"  totaliseraient 30  
qui est multiple de 3 ;ils ne peuvent exister donc  ;ll reste les  5 chiffres  que je donnerai tout à l'heure.

Sauf erreur

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J'en trouve 127 :  3 à 2 chiffres, 18  à 3 chiffres, 15 à 4 chiffres et 91 à 5 chiffres

tu as parfaitement raison
je corrige mon premier message

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(et d'un nombre de chiffres pair multiple de 3)

je répondais à Sylvieg
toi, dpi, à mon avis tu as tort (tu en as en trop qui ne sont pas des anti-palindromes, qu'ils soient premiers ou non)

Quand j'ai défini les anti-palindromes j'avais dans l'idée que la règle s'appliquait à tous les chiffres même celui du milieu pour les nombres de longueur impaire (ce chiffre est donc nécessairement 5). J'aurais pu être plus clair, désolé dpi

Quand à mathafou à part le 91 qui a déjà été corrigé, je suis d'accord avec tous tes résultats. Bien joué

Je confirme pour les 4 chiffres : dpi est trop généreux.
Je n'ai pas encore eu le temps ou le courage de chercher les 5 chiffres.

Si on prend la version de dpi alors il faut rajouter les 4 nombres de longueur 1. De plus je trouve 13 nombres de longueur 4 au lieu des 15 annoncés par dpi.

Oui, j'en trouve 13 aussi, comme mathafou.

Pour les 5 chiffres, je trouve aussi comme mathafou

pour les 7 chiffres et plus un programme va s'avérer indispensable !

Merci à mathafou, Sylvieg et dpi d'avoir participé

Oui,
Pour les 3 chiffres je n'accordais aucune importance au chiffre du milieu ,je retiendrai  5  simplement donc pas de 3 chiffres sauf si on accepte 0 au milieu dans ce cas :109  et 307.

J'ai aussi testé d'autres bases que 10. C'est étonnant comme certaines bases produisent plus d'anti-palindromes premier que d'autres. Voici le nombre de nombre premiers anti-palindromes sous dix millions :

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base nombre
2         7
3        28
4       105
5       180
6       169
7         5
8       183
9        91
10      103
11      212
12      167
13        6
14      221
15      306
16       53
17      225
18      132
19        9
20      134
21      155
22      136
23       41
24      123
25       11

si j'écris l'un au dessous de l'autre

1 0 9
9 0 1

et que je fais la somme en colonne des chiffres

10 0 10
donc ça ne marche pas, la somme des chiffres de rang k et de rang n-k ne fait pas partout 10, même si la somme des chiffres de rang 1 (en commençant à 0) et de rang 2-1 = 1 c'est à dire d'un chiffre avec lui-même, et ça peut prêter à litige.
moi c'est ce que j'ai compris dès le début et il semble que ce soit bien l'idée de LittleFox

il en est de même avec 1009 qui bien que premier n'est pas anti-palindrome

1 0 0 9
9 0 0 9
10 0 0 10

suite ,

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Oui, c'est bien la définition de mathafou que je suis.

Petit trucs intéressants avec des bases différentes de 10:
- En base 2, les nombres premiers anti-palindromes sont les nombres premiers de Mersenne
- En bases13 et 19 il semblerait qu'il n'y ait aucun nombre premier anti-palindrome de plus de 2 chiffres . En base 7 le premier après deux chiffres a 10 chiffres, c'est peut-être pareil pour 13 et 19.

Pour les 7  chiffres:

Les 4 premiers sont:

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1125899  1185299  1235 789 1245 689

Au passage ,merci à Littlefox  et bravo pour sa liste.

Pour finir (question 5/2 )

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Le plus grand 7 chiffres est    9985211

Félicitations dpi

Après quelques tests supplémentaires (et un petit code pour générer tout ça), je trouve qu'effectivement : en base 7,13 et 19 le premier nombre premier anti-palindrome de plus de deux chiffres a dix chiffres. Il sont 47165243(10)=1111616666(7), 11495086277(10)=111267BCCC(13) et 340652317307(10)=1111G3IIII(19).

Question : pourquoi il n'existe pas de nombre premier anti-palindrome de 3,4,5,6,7,8 ou 9 chiffres dans ces 3 bases?

Tout d'abord pour les bases impaires alors il n'y a pas d'anti-palindrome de longueur impaire en effet le chiffre du milieu devrait être la moitié de la base.

Ensuite, les anti-palindromes de longueur paire ont la forme :



Où est la base et la longueur.

Donc si a un diviseur commun avec , alors ne pourra pas être premier.

Ce qui ne laisse que les longueurs de la forme 12k2 pour les bases 7,13 et 19.

CQFD

LittleFox
Par curiosité, l'anti-palindome est une invention à toi  ?

Je me suis demandé si on pouvait faire quelque chose similaire aux palindromes mais différent, j'ai testé quelques valeurs puis ait fait des recherches, notamment sur l'oeis : . Mais on ne trouve pas grand chose et nulle part on ne les combine avec les nombres premiers. Donc oui, quelque part je les ai inventés

Pour aider à finir ton projet....
C'est  beaucoup l'infini surtout vers la fin....
Mais il y a plusieurs  niveaux d'infinis

Oui, celui-ci est un petit infini
Note qu'il y a relativement beaucoup de premiers et beaucoup d'anti-palindromes mais très peu qui sont les deux

salut

intéressant ...

j'avais suivi et j'interviens après la bataille ...

soit en base b et soit la partie entière de p

si p est impair alors l'indice du chiffre du "milieu" est i = e + 1 et on a et

ce qui remontre le résultat de LittleFox lorsque b est impair


ensuite

on est pas de pourvoir conclure en reconnaissant dans le dernier terme un rep unit ...

puisque b - 1 est à 9 ce que b est à 10 ...

@carpediem
Il y a plusieurs inconsistances dans ta démonstration qui la rendent difficile à suivre et le résultat est plus que douteux.

1) Tu ne dit pas ce qu'est (, ni d'ailleurs) mais dans l'expression est la longueur de moins 1. Alors que dans la suite semble être la longueur tout court, sinon on n'aurait pas de chiffre au milieu pour p impair.

2) n'est vraie que si est impair.

3)   n'est correcte que si on numérote les chiffres de en partant de 1. Probablement que   aurait dû être

4) Ce n'est plus le même qu'auparavant. Où sont passés les ? Ce résultat correspond plutôt à la somme de et de son miroir. Cette somme est en effet égale à un repunit moins 1 (ou fois , c'est équivalent). A noter que .

5) On ne peut pas conclure grand chose sur à partir de la somme de et de son miroir.

Ceci dit, dans ma réponse du 09-11-18 à 11:51, j'ai obtenu des résultats sur pour des bases impaires et des longueurs paires assez similaires à tes résultats.

p est évidemment un entier ... et n'est pas la longueur de n

par contre j'ai ensuite effectivement fait "quelques" erreurs de rigueur !!!

je reprends :

carpediem @ 10-11-2018 à 18:01

soit en base b et soit la partie entière de p

si p est pair alors l'indice du chiffre du "milieu" est   et on a

ce qui remontre le résultat de LittleFox lorsque b est impair

donc p est impair et posons p = 2q + 1


ensuite

on est pas loin de pouvoir conclure en reconnaissant dans le dernier terme un rep unit ... non premier

puisque b - 1 est à 9 ce que b est à 10 ...