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[Mathématiciens] Leonhard Euler

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 29-03-08 à 22:25

Bonjour !

J'ai une petite idée pour ce forum expresso qui est tombé entre des débats trop chauds ! Pour équilibrer un peu, je vais prendre une petite initiative que je ne sais pas si vous allez aimer (je demande alors votre avis ): je vais commencer à poster (une fois que j'ai un peu de temps devant moi ) des petits topics sur nos mathématiciens ... ces topics présenteront un personnage et présenteront un petit bouquet de ses travaux d'une manière plus ou moins vulgarisée ... Et puis y aura après des discussions ou bien même des approfondissement pour les BAC + et pour les lycéens curieux autour de ce sujet !

Si vous n'êtes pas d'accord vous le dites dès ce topic !

Bon, le personnage de cette soirée est une grande célébrité qui est considérée comme une des plus grandes et qui a contribué aux développement des maths et des physiques aussi !

\Large\rm\red\fbox{Leonhard Euler}

\bullet Né le 15 avril 1707et mort le 18 septembre 1783
\bullet Euler Leonhard est un mathématicien suisse. Il a d'abord intégrer une faculté de philosophie,mais il a consacré tout de suite sa vie aux sciences comme élève de Bernouilli.A 16 ans, Euler a déjà obtenu sa maîtrise! Sa vie se partageait entre Bale, sa ville de naissance et Saint-Petersbourg en Russie où il finit sa vie après avoir souffert d'une congestion cérébrale en 1735 puis d'une cécité en 1771.
\bullet Ses domaines d'études étaient très variés: Mathématiques, mécanique, optique, acoustique, astronomie ...
\bullet Ses travaux

3$\rm\blue Conjecture de Fermat Euler a démontré la conjecture de Fermat pour le cas n=3 (l'équation 3$\rm x^3+y^3=z^3 n'a pas de solution d'entiers strictement positifs)

3$\rm\blue Fondation de l'analyse fonctionnelle C'est Euler qui a introduit le premier la notation f(x) qui représente l'image de l'élément x par la fonction f.

3$\rm\blue \Bigsum : pour somme Toujours avec les nouvelles notations, Euler a introduit le symbole \Bigsum. Ainsi au lieu d'écrire 1+2+...+n on écrit tout simplement 3$\Bigsum_{k=0}^nk, plus facile, non?

3$\rm\blue Notations: e, i, \pi Ah oui ! C'est lui le premier qui a introduit le symbole \Large\pi pour le nombre pi, le nombre irrationnel le plus célèbre 3,1415926535897932384..., et même la constante e où la fonction logarithme népérien vaut 1 (ln(e)=1) ou aussi la base des logarithme népériens ! On le doit aussi la notation pou le nombre imaginaire le plus célèbre dont le carré est -1 (i²=-1)


3$\rm\blue La formule dite la plus remarquable du monde Vous l'avez connu ! C'est \Large e^{i\pi}+1=0 où se regroupes toutes les constantes célèbres ! puis aussi la formule dont elle dérive : \Large e^{ix}=cos(x)+isin(x)

3$\rm\blue La droite d'Euler Euler établit que le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit sont alignés sur une droite appelée à son hommage droite d'Euler du triangle. En fait, Simson a déjà découvert cette particularité, mais comme il existe déjà une droite qui porte le nom de droite de Simson ...

3$\rm\blue Cercle d'Euler Toujours avec les notations précédentes, on appelle le milieu du segment [HO] centre du cercle d'euler .

3$\rm\blue Somme des inverses des carres d'entiers Euler a trouvé une solution à un problème très célèbre et très ancien déterminer la limite lorsque n tend vers +\infty de la suite \Large 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2} soit \Large\lim_{n\to +\infty} \Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} qui est bien sûr \Large \frac{\pi^2}{6} ou bien aussi \Large\Bigsum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Au fait la la fonction \Large\zeta(s)=\Bigsum_{k=1}^\infty{\frac1{n^s}} est appelée la fonction zéta de Riemann et donc Euler a calculé \Large\zeta(2)=\Bigsum_{n=1}^\infty{\frac1{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}

3$\rm\blue Constante d'Euler-Mascheroni Très célèbre! qui ne sait pas démontrer que \Large ln(n)\longright_{n^\infty} +\infty et que la série harmonique \Large \Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{k}\longright_{n^\infty} +\infty. Euler vient ici pour établir une relation: une limite de leurs différence qui n'est point infinie !

\Large \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} - \ln(n) \right) est appelée constante d'Euler-Mascheroni . \Large\gamma =0.577215664...

3$\rm\blue Relation d'Euler en topologie algebrique c'est une relation en géométrie très intéressante! Euler a pu établir que si on dispose d'un polyèdre de genre 0 qui a f faces et a arêtes et s sommets alors \Large f-a+s=2

3$\rm\blue Fonction indicatrice d'Euler L'arithmétique aussi! La fonction indicatrice d'Euler notée \Large\phi(n) est une fonction de \mathbb{N}\to\mathbb{N} qui à n associe le nombre d'entiers positifs inférieurs à n et premiers avec lui. C'est une fonction multiplicative c'est-à-dire \Large\phi(mn)=\phi(m)\phi(n) (essayer de le démontrer terminale S spé )

Bon pour terminer, il me restait juste une que je voulais citer :

3$\rm\blue Probleme des sept ponts de Konigsberg Problème traité plusieurs fois sur l'île même ! Bon, C'est Euler qui, le premier l'a démontré !

Bon, je termine ce topic ... Je vous laisse parler de ce que vous voulez concernant Euler ! Des démos, d'autres découvertes à lui que vous connaissez ...

Posté par
slorevivre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:26

Bonsoir,
bonne initiative monrow !

je rajoute:
on disait dans le temps "formule d'Euler" pour :\cos(\theta)={e^{i\theta}+e^{-i\theta}\over 2} et \sin(\theta)={e^{i\theta}-e^{-i\theta}\over 2i}

Posté par dellys (invité)re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:31

Bonsoir Moh ! Très bonne idée


  En effet, Euler est l'un des plus grands mathématiciens ! Je n'ai pas le niveau pour tout comprendre...
  Mon prof disait souvent qu'Euler est de ceux qui prennaient les travaux des autres, puis avançait dans les cas particuliers les plus durs et s'angageait dans les choses les plus abstraites ! (à vérifier bien sûr )


Bref, c'est surtout pour préparer le nouveau topic ! ça va être sur Gauss hein Monrow ?


w@lid.

Posté par dellys (invité)re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:33

Salut Marie


  Et à croire mon bouquin, c'est l'un des premiers à tracer les courbes des fonctions d'une manière précise : l'approximation affine  ..


w@lid.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:40

Citation :
Bref, c'est surtout pour préparer le nouveau topic ! ça va être sur Gauss hein Monrow ?


On verra bien

Sinon, oui y a 3$\rm\blue la methode d'Euler qui s'utilise pour résoudre des équadiffs... Et bien sûr que ça a un rapport avec l'approximation affine ...

sinon les formules d'euler bien sûr comme nous a rappelé Sloreviv !

Posté par
xunilre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:42

bonsoir

exellent topic et exellente initiative.

je me suis particulièrement intéressé à cette fonction indicatrice ,il y a plein de propriété dessus et on peut en outre démontrer que : a et n entiers naturels premiers entre eux, alors a^{\phi(n)}\equiv 1 [n]...

enfin tout ca pour dire que j'aime tout les mathématiciens qui ont traité de l'arithmétique.

quand je serais en vacance (d'ici une semaine mais avant bac blanc) je traiterais le cas du fameux Fermat...

merci monrow

@+

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:45

xunil>> j'avais ce truc là en tête grrr mais j'ai oublié de le citer ^^

le 3$\rm\blue theoreme d'Euler (qui est une généralisation du petit théorème de Fermat) : \Large a^{\phi(n)}\equiv%201%20[n]

Que des trucs où s'entraîner ...

Posté par
slorevivre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 29-03-08 à 23:59

Bonjour Walid! et l'arithmétique c'est si bien!!!!

que ca reconcilierait toute une île j'espere!!

Posté par
dami22suire : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 04:26

Bonjour

Le calcul d'une surface sur un quadrillage, par Euler aussi (sauf erreur)

Soit un quadrillage orthogonal, et un polygone dont tous les sommets sont situes sur des noeuds du quadrillage.
Le nombre de noeuds du quadrillage a l'interieur du polygone est appele I
Le nombre de noeuds sur le polygone lui-meme est appele L
Si l'unite de surface vaut 1 rectangle du quadrillage, alors la surface du polygone vaut \fr{L}{2}+I-1

Exemple de l'image:
15 points a l'interieur, en rouge
9 points sur le perimetre, en vert
Surface: 15 + 9/2 - 1 soit 18.5 unites





[Mathématiciens] Leonhard Euler

Posté par
mikayaoure : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 09:54

jolie formule, dami

peu connue je pense

salut monrow : un des intérêts de cette famille de posts ( hormis ôter de la tension à l' ) sera d'enrichir les infos que fournit wikipédia sur les mathématiciens ( ou d'autres sites...)

Posté par
Mariette Correcteurre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 12:01

salut tout le monde,

joli topic en particulier le coup du quadrillage !

Posté par
mikayaoure : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 12:04

salut Mariette oui, ça doit être peu connu de tous ( car pas enseigné) cette histoire de quadrillage...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 13:28

Mika>> bien sûr que c'est le but aussi ... On peut ainsi connaître un plus ou moins maximum de ce qu'a fait chaque mathématicien

Dami>> Belle formule que je connaissais pas

Posté par
lucas951re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 13:47

Belle formule en effet

Posté par
shadowmikore : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 19:34

Salut!

Que de magnifiques formules en effet

Citation :
Si vous n'êtes pas d'accord vous le dites dès ce topic !
Qui sera assez c** pour dire qu'une idée pareille n'a pas sa place ici? C'est une super idée! On a apprend beaucoup, autant sur le bonhomme que sur les maths...

Seul truc qui m'embête c'est que je suis née le même jour que lui mais que je suis loin d'être aussi douée en maths...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 20:13

moi je suis né 5 jours après lui mais sans aucun profit ! de même aucune relation avec lui

Posté par
ottore : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 20:31

Il est très à la mode parce que c'était son tricentenaire l'an passé.
Il continue à y avoir des conférences à sont sujet encore aujourd'hui.
Je pense que l'on peut surement trouver la conférence de Francis Clark sur le sujet dans les videos de l'ENS si ça en intéresse...

Posté par
infophilere : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 20:34

Bonsoir

Quelqu'un a une démo pour la formule donnée ?

Posté par
ottore : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 20:37

De quelle formule parles-tu ?

Posté par
infophilere : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 20:40

Celle de la surface d'un polygône dans le quadrillage.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 30-03-08 à 21:17

Démonstration du 3$\rm\blue Theoreme de Pick (d'après des notes de cours de géométrie discrète à Michel Habib)

Formule du Pick: Soit P un polygone. On a \Large S(P)=I(P)+\frac{B(P)}{2}-1 où:

S(P) est la surface de P
I(P) le nombre des points du quadrillage à l'intérieur du polygone
B(P) le nombre de points du quadrillage où passe le polygone

Voilà ce qu'il a fait:

Lemme 1:

\rm La formule est vraie pour les rectangles et triangles rectangles

Preuve: Evident ...

Lemme 2

On considère deux polygones P et P' n'ayant qu'un côté MN en commun. Alors si Q=P+P' et si P' vérifie la formule du Pick alors : \rm P verifie la formule du Pick si et seulement si Q verifie la formule du Pick

Preuve: Il suffit de montrer que \Large S(P)-I(P)-\frac{B(P)}{2}=S(Q)-I(Q)-\frac{B(Q)}{2}

Remarquons que :

S(Q)=S(P)+S(P')
I(Q)=I(Q')=x où x est les nombre de points du quadrillage appartenant à ]MN[
B(Q)=B(P)+B(P')-2x-2

Donc: \Large S(Q)-I(Q)-\frac{B(Q)}{2}=S(P)-I(P)-\frac{B(P)}{2}+S(P')-I(P')-\frac{B(P')}{2}+1

Or P' vérifie la formule du Pick, donc: \Large S(P)-I(P)-\frac{B(P)}{2}=S(Q)-I(Q)-\frac{B(Q)}{2}. CQFD

PREUVE DU THEOREME DU PICK

Un triangle quelconque peut se transformer en un rectangle par ajout de triangles rectangles (il suffit de considère le rectangle du quadrillage englobant ce triangle).

Et donc en utilisant les deux lemmes, les triangles vérifie le théorème du Pick.

Considérons maintenant un polygone quelconque P. On commence par calculer une triangulation de P. Le lemme précédent nous permet d'en déduire la validité du théorème sur P.

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 00:07

Salut!


Je trouve l'idée excellente!

Moi j'accroche sur le probléme des 7 ponts..je trouve ça passionant dans sa résolution et dans le probléme en lui même..je sais pas il y a un truc dans le probléme qui m'intrigue et me passionne!


Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 00:54

3$\rm\blue Fonctions speciales: Integrales d'Euler

Fonction Gamma

Cette fonction est la généralisation de la factorielle jusqu'aux nombres réelles voire même complexes!

\Large\Gamma : z\to\Bigint_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt

un peu plus vulgarisé: \Large\Gamma(z)=\lim_{x\to +\infty} \Bigint_0^{x}t^{z-1}e^{-t}dt \Large\rm ;z \in\mathbb{C} tq \Re e(z)>0

Travaillez dans \mathbb{R}^{+*} pour les curieux lycéens ^^

Vous pouvez ainsi vérifier la formule célèbre \Large\Gamma (z+1)=z\Gamma (z) (une IPP? )

Ainsi pour \Large\rm n\in\mathbb{N}; \Gamma(n)=n!

Fonction Bêta

\Large\rm \beta (x,y) = \Bigint_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt avec x et des complexes tels que leurs parties réelles soient strictement positives.

Toujours vous pouvez vous rendre à une étude réelle

La relation qui existe entre ces deux fonctions est:  \Large\rm\beta (x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Il existe bcp d'autres fonctions spéciales qui viennent de la fonction gamma mais ce n'est pas la peine de détailler ici (Foction digamma qui est la dérivée logarithmique de gamma, la dérivée polygamma où on dérive "logarthmiquement" plusieurs fois, ... mais c'est d'un niveau un peu plus délicat )

PS: Vous pouvez poser les questions que vous voulez, les démos que vous souhaitez savoir, des éclaircissements ...

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 01:17

Salut mohamed!


Que veut dire dérivée logarithmique?  est le logarithme de la dérivée?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 01:30

Salut Kuider !

Bon, on prend une fonction f ... Sa dérivée logarithmique est la fonction \Large\frac{f'}{f}.

Bon laissons le cas de la fonction digamma, la dérivée simplifie des fois bcp le calcul de dérivée (surtout en physiques je pense )

Prenons un exemple et soyons plus concrets :

\Large f(x)=\sqrt{|x(x+2)|}e^{\frac{1}{x}}, c'est vraiment trop calculatoire sa dérivée !

On a: \Large ln(f(x))=\frac{1}{2}ln|x(x+2)|-\frac{1}{x^2}

On dérive : \Large \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{x+1}{x(x+2)}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-2}{x^2(x+2)}

Ainsi : \Large f'(x)=\frac{x^2-2}{x^2(x+2)}f(x)=\frac{x^2-2}{x^2(x+2)}\sqrt{|x(x+2)|}e^{\frac{1}{x}}

Imagine le temps que tu as gagné !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 01:35

\Large%20ln(f(x))=\frac{1}{2}ln|x(x+2)|+\frac{1}{x}

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 01:53

Ok merci !

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 01:57

Euh la valeur absolue n'est pas nécessaire sous la racine non?

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 01:58

Ah...Mea Culpa! question stupide, tu as tout à fait raison de mettre des valeurs absolues car aprés tu te sers de ln

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 02:02

en effet, la fonction f ne doit pas s'annuler, et puis pour appliquer le ln on doit s'assurer que f est strictement positive

Autre remarque : si \Large\varphi (x)=f_1^{a_1}f_2^{a_2}...f_n^{a_n} où \Large f_i>0

\Large\frac{\varphi '}{\varphi}=a_1\frac{f'_1}{f_1}+a_2\frac{f'_2}{f_2}+...+a_n\frac{f'_n}{f_n}

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 02:12

Ok merci!

Je l'écris avec des sommes et produits  pour voir si je sais manipuler ça et aprés


si 3$\Phi(x)=\Bigprod_{i=1}^n f_i^{a_i} avec f_i>0 alors 3$\frac{\phi'}{\phi}=\Bigsum_{i=1}^n a_i\frac{f'_i}{f_i}



Une question bête désolé mais les a représentent la dérivée a-iéme   ?

Posté par
infophilere : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 06:33

Non une puissance

Posté par
lafol Moderateurre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 10:29

Bonjour
ça serait pas plutôt Gamma(n) = (n-1)! ? (parce que la récurrence, c'est (n)! = n(n-1)!)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 10:33

lafol , oui bien sûr !

C'est : \Large\rm\Gamma (n)=(n-1)!

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 23:51

Ok merci Kéké (et salut )

Incroyable j'ai eu un exo sur la constante d'Euler-Mascheroni  dans un exo (bourrin ) ce matin en DS

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 23:53

ah bon !

lol

Bon je pense qu'on va passer à un deuxième mathématicien ! lequel vous préférez?

Posté par
Epicurienre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 31-03-08 à 23:58

Oui Mohamed , mais je pense que c'était vraiment une approche

Moi j'aime bien Fermat et Gauss (non non ,l'arithmétique n'y est pour rien dedans )

Posté par dellys (invité)re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 00:16

Gauss


w@lid.

Posté par
infophilere : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 06:53

De rien Kuid

Citation :

Bon je pense qu'on va passer à un deuxième mathématicien ! lequel vous préférez?


ehlor

Posté par
simon92re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 08:25

Reimann peut-être

Posté par
lafol Moderateurre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 09:35

à moins que Riemann ?

Posté par
simon92re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 09:37

Oupssss

Posté par
simon92re : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 09:38

je sias jamais l'écrire, et même je sais pas comment le prononcer souvens je dis Rayman (comme le jeux video ) ou rainman (comme le film )

Posté par
lafol Moderateurre : [Mathématiciens] Leonhard Euler 01-04-08 à 10:20

ça se prononce comme ça s'écrit (ie, comme dans le français pie (je suis curieuse comme une vieille pie )


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