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Matrice carré

Posté par
matheux14 14-12-22 à 15:10

Bonjour,

Un copain de classe me pose ce problème que je n'arrive pas du tout à résoudre, pourtant ça semble très simple à prime abord.

Soit M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Calculer M^n.

J'ai essayé de voir (M - I)² mais ça ne s'annule pas et aussi calculé quelques puissances de cette matrice mais pas grand chose. J'ai dû utiliser Wolfram..
Et là je me rends compte que ce n'est pas du tout simple.

Ce que je peux constater c'est qu'il y a un lien entre M^n et \varphi le nombre d'or.

Sinon, comment ça se fait qu'il y ait le nombre d'or dans le résultat final ?

Y aurait t il un lien avec les suites de Fibonacci ?

Posté par
GBZMre : Matrice carré 14-12-22 à 15:40

Bonjour,

Ben oui : \Large \begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{pmatrix}
Les valeurs propres de la matrice sont effectivement le nombre d'or et son conjugué.

Posté par
matheux14re : Matrice carré 14-12-22 à 19:12

Comment vous faites pour le voir si facilement ?

Posté par
GBZMre : Matrice carré 16-12-22 à 18:22

Ce n'est pas à un vieux singe qu'on apprend à faire la grimace.

Posté par
matheux14re : Matrice carré 16-12-22 à 22:30



Merci quand même

Posté par
GBZMre : Matrice carré 17-12-22 à 08:38

L'écriture matricielle des suites récurrentes linéaires est un grand classique qu'on rencontre fatalement quand on prend de la bouteille.

Posté par
matheux14re : Matrice carré 17-12-22 à 13:57

GBZM @ 14-12-2022 à 15:40

Bonjour,

Ben oui : \Large \begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{pmatrix}
Les valeurs propres de la matrice sont effectivement le nombre d'or et son conjugué.


La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Mais vu cette formule, on dirait qu'elle est géométrique d'un point de vu matriciel..

On a :

\Large F_{n + 2} = F_n + F_{n + 1}

\Large X_{n + 1} = \begin{pmatrix}F_{n + 2} \\ F_{n + 1} \end{pmatrix} ~~~~~ ; ~~~~X_n = \begin{pmatrix}\blue{F_{n + 1}} \\ \red{F_{n}} \\ \end{pmatrix} ~~~~~ ; ~~~~ X_{n - 1} =   \begin{pmatrix} \red{F_{n}} \\ F_{n - 1}\end{pmatrix}

\boxed{ \Large \begin{pmatrix}\blue{F_{n + 1}} \\ \red{F_{n}} \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} \blue{1}&\red{1} \\ \red{1}&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \red{F_{n}} \\ F_{n - 1} \end{pmatrix}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice carré 17-12-22 à 14:13

Bonjour,
Tu peux dire la même chose de toutes les suites récurrentes linéaires

Posté par
matheux14re : Matrice carré 17-12-22 à 23:29

Si on poursuit mes calculs de  13:57 on a bien \boxed{ \Large M^n =  \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} ^n = \begin{pmatrix} \blue{F_{n + 1}}&\red{F_n} \\ \red{F_n}&F_{n - 1} \end{pmatrix} }


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