Niveau concours

Matrice d'une rotation

Posté par
luzak 01-04-20 à 08:09

$\beta$ est une base orthonormée d'un espace euclidien de dimension 3,
$\vec{u}$ un vecteur normé de composantes $(a,b,c)$ dans la base $\beta$ .
On demande la matrice dans cette même base de la rotation d'axe $\vec{u}$ d'angle donné $\theta$ .

                 Merci à monsieur Brassens pour la musique !
Supposez qu'un de vous puisse être
Comme un élève obligé de
A ce problème se soumettre
Sans faire des calculs hideux ?

On pourrait, ça semble sage
Choisir la base et commencer
Puis, par matrice de passage
Tenter de se décarcasser

Oui mais ! Partir d'une colonne
Pour faire une base orthonormée
La méthode de Gram-Schmidt donne
Des radicaux fort mal aimés

Et bien que la matrice inverse
S'obtienne par transposition
Le calcul des produits déverse
Tout un lot de complications

Faudrait un truc moins détestable
Malheureusement je ne peux
Pas l'écrire, c'est regrettable,
Sans devoir m'amuser un peu

Car en ce jour ichtyologique
Où l'encre de seiche est un dû
Je prends une encre sympathique
Pour faire mon compte-rendu
                   G $\mathrm\scriptsize{are}$ A $\mathrm\scriptsize{u}$ G $\mathrm\scriptsize{orille}$

MI (mode invisible) on
$\color[RGB]{255,255,255} \text{Soit $p$ (resp $q$) le projecteur orthogonal d'image (resp noyau) $\R\vec u$, $s : \vec x\mapsto \vec u_{\wedge}\vec x$ et $r=p+\cos(\theta)q+\sin(\theta)s$}$
MI off
Alors $r$ est la rotation cherchée. On peut le voir
       tout bêtement en prenant une base orthonormée $(\vec u,\,\vec v,\,\vec u_{\wedge}\vec v)$
      plus sophistiqué (mais exercice instructif) en cherchant l'adjoint de $r$ ainsi que sa trace.

MI on
$\color[RGB]{255,255,255} \text{Pour $\vec x$ normé on a  $p(\vec x)=\langle \vec u,\vec x\rangle \vec u,\;q(\vec x)=\vec x-p(\vec x)$ de sorte que les matrices de $p,q,s$ }$
MI off
sont d'écriture immédiate ce qui permet d'obtenir, sans calculs (juste un peu de concentration) la matrice demandée

$R=\begin{pmatrix} \\ a^2+(1-a^2)\cos(\theta) &ba-ba\cos(\theta)-c\sin(\theta) &ca-ca\cos(\theta)+b\sin(\theta) \\ \\ ab-ab\cos(\theta)+c\sin(\theta) &b^2+(1-b^2)\cos(\theta) &cb -cb\cos(\theta)-a\sin(\theta) \\ \\ ac-ac\cos(\theta)-b\sin(\theta) & bc-bc\cos(\theta)+a\sin(\theta) &c^2+(1-c^2)\cos(\theta) \\ \end{pmatrix}$

Posté par re : Matrice d'une rotation 01-04-20 à 08:52

Posté par re : Matrice d'une rotation 01-04-20 à 18:23

Bravo luzak

je présume que tu as passé plus de temps à composer ces paroles qu'à résoudre le problème

le confinement développe des talents !

encore bravo, c'est excellent