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Niveau terminale
matrice encore
matrice encore 
Posté par sarra (invité)
j ai trouvé beaucoup de difficulté ds cet exercice surtout au niveau de la rédaction
soit E l ensemble dse fonctions définies sur R de la forme:
f(x) = a exp(x) + b exp(-x)
on rapelle que (E,+,.) est e vectoriel sur R
1-soit h l application linéaire de E dans R²
h(f)=( f(0),f(1) )
a--montrer que h est bijective
b--donner une base B de E
2-soit g l application linéaire de E dans E à f de E associe sa dérivé f'
calculer gog . en déduire que g est bijective
3-donner l expression de la matrice assovié a h relativement a la base B de E et le base canonique de R²
4-donner l expression de la matrice assovié a g relativement a la base B de E
pouver vous m edonner un indice ou chemin à suivre pour résoudre le probléme
et merci encore
Bonjour pour la a) il faut montrer que h est injective et surjective.
Si tu supposes que h(f)=h(g) il te faut montrer que f=g. f=a exp(x)+b exp(-x) et g= a' exp(x)+b'exp(-x).
Comme h(f)=h(g) on a f(0)=a+b=g(0)=a'+b' et f(1)=a e + b/e=g(1)= a'e+b'/e.
Donc e(a+b)-ae-b/e=e(a'+b')-a'e-b'/e cad b(e-1/e)=b'(e-1/e) donc b=b' puis par suite a=a' et f=g.
Pour la surjectivite il faut que pour tout couple (x,y) tu trouves une fonction de E telle que f(0)=x et f(1)=y donc a+b=x et ae+b/e=y. Donc ex-y=b(e-1/e) cad b=(ex-y)/(e-1/e). On en deduit a=x-b=x-(ex-y)/(e-1/e).
Pour la b) h etant une bijection lineaire de E dans R², E est de dimension 2 et tout element de E s'ecrit comme combinaison lineaire des deux fonctions exp(x) et exp(-x) donc c'est une famille generatrice de deux vecteurs donc une base.
Posté par sarra (invité)re : matrice encore
voici la démarche que j ai suvi est ce correct?
f de E h (f)=( a+b, ae+b/e)
h(f)=0 impliq a=0 et b=0
donc kerh= 0 donc dim kerh =0 donc h est injective
dim imh =2-0=2 dim E
donc h surjectif alors h est bijective
?