salut désolé je ne sais pas utilisé les notation du site.


Soit A1,A2, ....., An n matrice d'ordre n nilpotente alors il existe k1,k2,.....,kn tel que
A1^k1=[0]
A2^k2=[0]



An^kn=[0]



on a alors le produit A1^(k1k2....kn)A2^(k1k2...kn).....An^(k1k2...kn)=[0]
de plus toutes les matrices commutent 2 à 2 donc on obtiens
(A1A2...An)^(k1k2....kn)=[0] et ceci implique que A1A2....An=[0]


Voila monsieur le prof dis moi ce que tu en penses.

Salut

en passant a puissance 1/(k1k2....kn)

Où est la non intégrité de Mn(K) ?

llol a vrai dire je comprends pas la question la lol

Bref tout ça pour dire que ça ne marche pas, sinon on aurait pas de notion de nilpotence chez les matrices...

On ne peut passer à une puissance rationnelle que si la matrice est inversible ce qui n'est clairement pas le cas ici.

l'idée de départ est telle potable ou faut il que je change complètement de piste?

Je ne pense pas qu'on aboutisse ainsi. Cependant tu peux l'exploiter peut être que ça mène quelque part mais bon... Quoi qu'il en soit ce n'est pas le raisonnement que j'ai moi même adopté.

Un indice peut être?

je veux bien l'indice

Bonjour à tous!
Je suis en train de creuser une idée.

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Je raisonne en terme d'endomorphismes f1,..,fn et j'en particularise un, f1 par exemple, pour pouvoir raisonner par récurrence.
Je prolonge une base du noyau de f1. Sur la base obtenue, la matrice A1 de f1 est formée de quatre blocs B1,C1,D1,E1, dont deux blocs de zéros B1 et D1, à gauche. Comme les fi commutent, le noyau de f1 est stable par chacun des fi.
La matrice Ai en 4 blocs de chacun des fi sur la base privilégiée présente donc, en bas et à gauche un bloc Di de zéros.
En calculant les puissances des Ai et le produit 2 par 2 des Ai , je constate que les sous-matrices E2,..En sont elles-mêmes nilpotentes et commutent deux à deux. Je peux donc leur appliquer l'hypothèse de récurrence. Dans le produit A2...An j'aurai donc un bloc de zéros en bas à droire. En multipliant à gauche A2..An par A1, j'aurais deux blocs de zéros à droite dans le produit A1..An. En multipliant à droite A2..An par A1, j'aurais deux blocs de zéros à gauche de A2..AnA1, qui est égal à A1..An.
Donc A1..An est nul.

Si besoin est, je peux essayer de rédiger mieux et aussi simplifier .

Mille excuses Nightmare!
Tu as envoyé ton courrier pendant que je rédigeai le mien!

Salut rogerd

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Pas de soucis et belle démo, Personnellement je suis passé par l'image plutôt que les noyaux mais nos démonstrations se rejoignent.

Bien joué!

Bonsoir moi je raisonne plutot sur les images

On note   nilpotents commutant 2 à 2 avec dim E=n
Il s'agit de montrer que

Pour on pose et

Montrons par récurrence descendante sur k que

Pour k=n-1 :
, l'inclusion étant stricte puisque n'est pas bijectif
Donc

Supposons l'assertion vraie au rang k

Alors
Et
Donc (l'inclusion étant stricte puisque est nilpotente donc non bijective)
donc et d'apres l'hypothése de recurrence :
La récurrence est établie

En particulier pour k=0 on obtient ie (cqfd)