Matrices semblables.

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Matrices semblables.
Posté par 
LeFou  11-06-10 à 20:04
Voilà, l'un de mes exercices de colle:

Soit ,

Montrer que A et B semblables dans   A et B semblables dans 

J'ai une solution a proposé(peut-être pas parfaite) et je peux aider les participants (à partir de ma solution).

Je ne sais guère s'il existe plusieurs méthodes ou non mais je pense que oui.

Voilà, bonne recherche à tous 

Et merci à tous les participants !
 Posté par 
LeFoure : Matrices semblables.  11-06-10 à 20:10
J'ai oublié l'essentiel: Bonjour à tous 
 Posté par 
gui_toure : Matrices semblables.  11-06-10 à 20:20
Hi

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Le sens droite ==> gauche est trivial. Pour l'autre, on dit qu'une matrice de Mn(C) se décompose comme A+iB avec A,B réelles.

Après, on regarde ce que donne det(A+tB) avec t réel, et on espère qu'il y ait un t tel que ce bidule soit non nul.

Un zoli classique je trouve.
 Posté par 
LeFoure : Matrices semblables.  11-06-10 à 20:23
Bonsoir gui-tou, merci de participer.

C'est exactement la méthode que j'ai suivie 

Par contre j'ai du demandé de l'aide pour pouvoir introduire le bidule dont tu parles 

PS1: j'ai oublié de préciser: Merci de blanker !

PS2: Bonne chance la France 
 Posté par 
Noflahre : Matrices semblables.  11-06-10 à 22:43
Bonsoir,

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Une question me vient :

Deux matrices sont semblables si il existe P inversible tel que A=P^-1BP. A-t-on unicité de P ? Dans ma définition il ne me semble pas qu'il y ait P unique, mais l'interprétation de matrice semblable c'est un changement de base, donc à priori pour passer d'une base à une autre la matrice P de passage est unique non ???

Si on a bien l'unicité de P : 

A=P^-1BP => on passe au conjugué : A(barre)=P^-1(barre)B(barre)P(barre) soit A=P^-1(barre)BP(barre)  car A et B sont à coefficients réels. 

De là si j'ai unicité de P j'en déduis P=P(barre) donc P réel. Cela me semble trop simple pour être vrai, pourtant je ne vois pas comment une matrice de passage d'une base à une autre peut ne pas être unique.

Merci pour la réponse (je sens que c'est une trivialité et que je vais avoir honte, mais là je vois pas ... )

PS : désolé de répondre à une question par une autre question  
 Posté par 
gui_toure : Matrices semblables.  12-06-10 à 13:34
Noflah :

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In et In sont semblables, et pourtant, pour n'importe quelle matrice inversible P, In=PInP-1

Il n'y a donc pas unicité de la matrice de passage.
 Posté par 
Noflahre : Matrices semblables.  12-06-10 à 13:58
Guitou : 

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Oui bien sûr ! Je comprend mon erreur : il peut exister plusieurs bases dans laquelle la matrice A est la même. Merci à toi.
 Posté par 
gui_toure : Matrices semblables.  12-06-10 à 13:59
Toutafé 
 Posté par 
Camélia re : Matrices semblables.  12-06-10 à 16:14
Bonjour

J'ai lu les blankés  et je vous propose une autre solution, peut-être hors programme:

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Il s'agit d'utiliser les invariants de similitude. C'est une suite de polynômes anulateurs de M coincés (au sens de la divisibilité) entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique. l'intérêt est que A et B sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes polynômes associés.

Alors semblables dans C, c'est les mêmes polynômes, mais comme ceux-ci sont à coefficients réels, elles sont semblables dans R!
 Posté par 
LeFoure : Matrices semblables.  13-06-10 à 13:50
Bonjour Camélia, 

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En effet même si je connais les polynômes annulateurs,et les polynômes caractéristiques, j'ai du mal à te suivre  
  Posté par 
Camélia re : Matrices semblables.  13-06-10 à 13:56
> LeFou Tu penseras à moi le jour où tu rencontreras ces merveilles!