Si on définit :
D = "ensemble des points équidistants de a et b"
il n'y a ni problème d'existence ni d'unicité : c'est une définition . Par contre, il se pourrait que se soit vide par exemple.

Tout le monde n'est pas en vacances ! Mais bonnes vacances à toi !

Bonjour,

en effet, tu poses mal ton problème.

Je suppose que tu veux prouver que l'ensemble des points équidistants de deux points A et B est la médiatrice de ce segment, c'est à dire la droite perpendiculaire qui passe par son milieu, non ??

Bonjour,

Je pars sur un principe de raisonnement qui guide souvent l'activité du mathématicien: prouver qu'un objet mathématique existe, qu'il est unique; cela permet de le nommer.
Puis trouver une caractérisation de cet objet.

Exemple avec le milieu d'un segment: prouver que ce point existe (comme point d'intersection de deux droites), qu'il est unique; on donne alors le nom de milieu à ce point du segment.
La caractérisation venant des deux aspects ci-dessus.

Donc, le problème est-il mal posé ?
Avec cette grille de lecture, non.
Mais je suis prêt à lire toute remarque constructive.

Par avance, merci.

Alors disons que le mot "unicité" est de trop.

En effet, si tu détérmines l'ensemble des points équidistants de deux points, alos ok pour l'existence, mais pas besoin de parler d'unicité. (l'ensemble est forcément unique)

Je confirme les dires de Jamo. Oui il est mal posé :

D'après le schéma de remplacement de la théorie des ensembles, l'ensemble des points du plan équidistants de a et b est un ensemble ! En particulier il existe et il est unique car il est caractérisé par sa définition ! (Tout ça fait partie de la théorie des ensembles)

Je réitère : il n'y a pas à se poser de question d'existence ou d'unicité avec cette définition.


Pour le cas du milieu, c'est le même problème. L'ensemble des points situés sur le segment [a;b] et équidistant de a et b est un ensemble (encore le schéma de remplacement) : il existe et est unique en tant qu'ensemble. Par contre le fait qu'il ne soit formé que d'un point (pas de l'ensemble vide, ni de plusieurs points) est un théorème.

De la même façon, dans le cas de la médiatrice, le fait que l'ensemble des points équidistants de a et b est exactement la droite passant par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire est un théorème.

Je trouve la question de Benoit 91 excellente. Pourquoi l'ensemble des points équidistants de deux points ne serait pas par exemple deux droites sécantes au milieu du segment ? Comment le démontrer ? J'ai beau tenter de retrouver mes souvenir de classe prépa, je ne parviens pas à l'expliquer à ma fille (collège).
Si comme le dit tringlarido, c'est un théorème, il doit y avoir une démonstration ! Quelqu'un la connait-il ?

Bonjour Jeje50
si ta fille a déjà vu le th de Pythagore :

si M est équidistant de A et B, le triangle MAB est isocèle en M.
Considérons la hauteur MH issue de M (H = pied de cette hauteur, donc point de (AB) )
le th de Pythagore dans MHA puis dans MHB tous deux rectangles en H donne MA² = MH² +HA² et MB² = MH² + HB², donc HA² = HB² puisque MA² = MB²
H est donc le milieu I de [AB], et M se trouve sur la droite passant par I et perpendiculaire à [AB].

bonjour
soient M un point équidistant de A et de B et H le pied de la bissectrice de l'angle M dans le triangle MAB
les triangles MHA et MHB sont égaux comme ayant un angle égal (en M) compris entre deux côtés égaux chacun à chacun
donc leurs côtés opposés à leurs angles en M sont égaux : HA = HB
leurs angles opposés à leurs côtés égaux [MA] et [MB] sont égaux : angle HMA = angle HMB = un droit
(HM) est la médiatrice de [AB]
ou encore
soit [MH] la médiane du triangle MAB
les triangles MHA et MHB sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun
leurs angles opposés à leurs côtés égaux [MA] et [MB] sont égaux : angle HMA = angle HMB = un droit
(HM) est la médiatrice de [AB]
contrairement à la hauteur, on est sûr que le pied de la bissectrice ou de la médiane est à l'intérieur du segment [AB]

réciproque
soit p la perpendiculaire à [AB] menée du milieu H de ce segment (p est donc la médiatrice de [AB]
tout point M de p est équidistant de A et de B
en effet, les triangles HMA et HMB ont un angle droit en H compris entre deux côtés égaux chacun à chacun
leurs côtés opposés à leur angle droit sont égaux : MA = MB

la médiatrice est un lieu géométrique, ensemble des points possédant une propriété et formant une figure telle que :
- tout point de la figure possède la propriété
- tout point possédant la propriété appartient à la figure
- tout point hors de la figure ne possède pas la propriété
- tout poin ne possédant pas la propriété est hors de la figure

quelques autres lieux géométriques importants (dans le plan) :
le lieu géométrique des points situés à même distance de deux droites est formé des bissectrices des quatre angles que font ces droites entre elles
le lieu géométrique des points situés à une distance donnée d'un point est un cercle dont ce point est le centre
le lieu géométrique des points C tels que l'angle ACB ait une valeur donnée, A et B étant fixes est formé de deux arcs de cercle (AB) symétriques par rapport à (AB); ces arcs sont dits capables d'un angle donné
le lieu géométrique des points C tels que le rapport CA/CB soit constant, A et B étant fixes est le cercle d'Appolonius; le rapport doit être différent de 0 et de 1