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méthode du pivôt de Gauss

Posté par amethyste 18-06-15 à 18:23

Bonjour

suite à la demande de qq qui comprennais pas pourquoi ça marchait pas j'ai repondu en écrivant cela sans faire de papier collé

alors je le poste là se sera plus facile à retrouver et pour faire un papier/collé pour quelqu'un d'autre qui aura besoin et ça sera plus facile pour le retrouver

  méthode du pivôt de Gauss

SOMMAIRE
1.Généralités
2.Exemple de résolution de systèmes d'équations par la méthode du pivôt de Gauss
3.Exemple d'inversion de matrice inversible par la méthode du pivôt de Gauss

1.Généralités

la méthode de calcul de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dite méthode du pivôt consiste à partir d'un système d'équations initial d'effectuer des boucles de transformations sur ce système où à chacune des boucles on passe par trois transformateurs différents pris dans l'ordre d'abord $t_1$ , puis $t_2$ puis ensuite   $t_3$ pour revenir au premier transformateur   $t_1$ et ainsi de suite jusqu'à résolution

-lorsque le pivôt choisit pour l'opérateur $t_1$ est l'unité alors on passe directement à l'opérateur   $t_2$

-lorsque l'opérateur $t_2$ n'est pas possible alors on passe directement à l'opérateur   $t_3$

chaque passage dans un transformateur transformant le système

-la transformation $t_1$ divise une équation par le pivôt qui lui appartiens
et dans le cadre d'une inversion de matrice cela correspond à la division d'une ligne par le pivôt sur lequel se trouve cette ligne

-la transformation $t_2$ échange de position entre deux équations
et dans le cadre d'une inversion de matrice cela correspond à l'échange entre deux lignes de cette matrice

-la transformation $t_3$ définit des ajoûts

les passages par les transformateurs obeissent à des règles bien précises qui seront donnés dans les exemples qui suivent ce chapitre

2.Exemple de résolution de systèmes d'équations par la méthode du pivôt de Gauss

on prend l'exemple du système

$\begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

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passage par le transformateur $t_1$

On choisit le pivôt 1 situé sur l'EQUATION III comme étant le coefficient de X de sorte que la transformation $t_1$ ne transforme en rien le système

$\begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_1$

$t_1   \rightarrow \begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

______________________________________________
passage par le transformateur $t_2$

On effectue un échange entre les EQUATION I et EQUATION III
en fait l'EQUATION III là où se trouve le pivôt que l'on a choisit dans la transformation précédente
cette EQUATION III que l'on place en première position ne pourra plus être échangée par la suite

$\begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_2$

$t_2   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ 2X+3Y+6Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

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passage par le transformateur $t_3$

On effectue des ajoûts  afin d'éliminer les variables X des equations EQUATION II et EQUATION III

$E_2-3E_1$   deviens $E_2$

$E_3-2E_1$   deviens $E_3$

$\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ 2X+3Y+6Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_3$

$t_3   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ (-5)Y+10Z=-5 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

______________________________________________
passage par le transformateur $t_1$

on effectue la division par pivôt (-5) situé sur la troisième équation

$\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ (-5)Y+10Z=-5 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_1$

$t_1   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ Y+(-2)Z=1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

______________________________________________
passage par le transformateur $t_2$

On effectue un échange entre les EQUATION II et EQUATION III
en fait l'EQUATION III là où se trouve le pivôt que l'on a choisit dans la transformation précédente
cette EQUATION III que l'on place en deuxième position  ne pourra plus être échangée par la suite

$\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ Y+(-2)Z=1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_2$

$t_2   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\ (-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

______________________________________________
passage par le transformateur $t_3$

On effectue des ajoûts  afin d'éliminer la variable Y de la première  EQUATION I et de la troisième EQUATION III

$E_1-4E_2$   deviens $E_1$

$E_3+10E_2$   deviens $E_3$

$\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\ (-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_3$

$t_3   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   3Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$

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passage par le transformateur $t_1$

on effectue la division par pivôt (3) situé sur la troisième équation

$\begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   3Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_1$

$t_1   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   Z=3 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$


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passage par le transformateur $t_2$

On ne peut plus faire d'échange d'équations

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passage par le transformateur $t_3$

On effectue des ajoûts  afin d'éliminer la variable Z de la première  EQUATION I et de la deuxième EQUATION II

$E_1-6E_3$   deviens $E_1$

$E_2+2E_3$   deviens $E_2$

$\begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   Z=3 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_3$

$t_3   \rightarrow \begin {Bmatrix} X =-15 \mbox {   Equation I }  \\Y=7   \mbox {   Equation II }  \\   Z=3 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}$


3.Exemple d'inversion de matrice inversible par la méthode du pivôt de Gauss

on prend l'exemple avec la matrice $A=\begin {pmatrix}2&1&0\\1&0&1\\5&1&2\end {pmatrix}$

tout d'abord on commence par construire une matrice dont le bloc situé à droite représente la matrice identité du groupe   $(\mathcal {G}_{l_3},.)$

on obtiens donc la matrice

$\begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}$

afin que dans l'explication on puisse repérer l'élément pivôt dont on parle

la composante $a_{ij}$   de cette matrice désigne la composante située à la i ième ligne et à la j ième colonne

le principe étant ici de transformer cette matrice de telle sorte que le bloc de gauche représente la matrice identité du groupe   $(\mathcal {G}_{l_3},.)$ et le bloc de droite représente l'inverse de la matrice A

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passage par le transformateur $t_1$

on choisit le pivôt 1 de la composante $a_{21}$

$\begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}\rightarrow t_1$

$t_1   \rightarrow \begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}$

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passage par le transformateur $t_2$

on échange les lignes 1 et 2

$\begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix} \rightarrow t_2$

$t_2   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\2&1&0&1&0&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}$

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passage par le transformateur $t_3$

on effectue l'ajoût

$L_2-2L_1$   deviens $L_2$

$L_3-5L_1$   deviens $L_3$

$\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\2&1&0&1&0&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}  \rightarrow t_3$

$t_3   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}$

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passage par le transformateur $t_1$

on choisit le pivôt 1 de la composante $a_{22}$

$\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}\rightarrow t_1$

$t_1   \rightarrow  \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}$

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passage par le transformateur $t_2$

on effectue pas d'échange

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passage par le transformateur $t_3$

on effectue l'ajoût

$L_3-L_2$   deviens $L_3$

$\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}\rightarrow t_3$

$t_3   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&-1&-1&-3&1\end {pmatrix}$

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passage par le transformateur $t_1$

on choisit le pivôt -1 de la composante $a_{33}$

$\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&-1&-1&-3&1\end {pmatrix} \rightarrow t_1$

$t_1   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&1&1&3&-1\end {pmatrix}$

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passage par le transformateur $t_2$

on effectue pas d'échange

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passage par le transformateur $t_3$

on effectue l'ajoût

$L_1-L_3$   deviens $L_1$

$L_2+2L_3$   deviens $L_2$

$\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&1&1&3&-1\end {pmatrix}\rightarrow t_3$

$t_3   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&0&-1&-2&1\\0&1&0&3&4&-2\\0&0&1&1&3&-1\end {pmatrix}$

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on obtiens donc $A^{-1}=\begin {pmatrix}-1&-2&1\\3&4&-2\\1&3&-1\end {pmatrix}$