minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2

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minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2
Posté par 
alb12  11-01-23 à 23:09
Salut, 

W tym ćwiczeniu wskazane jest „planquer” odpowiedzi 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 11:42
Bonjour,

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 En posant  avec , j'obtiens:

 Reste à examiner les cas d'égalité :

 J'ai pu me tromper . . .
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 12:03
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On peut certainement  prouver directement que :

Pour les cas d'égalités (il y en a une foultitude), j'ai des très vilaines courbes ...
 Posté par 
larrechre : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 12:09
Bonjour,

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nie przegapimy tego

En posant X=x/(x-1), Y=y/(y-1), Z=z/(z-1) et en utilisant (X-1)(Y-1)(Z-1)=XYZ, 

j'obtiens, sauf erreur de calcul,

X2+Y2+Z2-1=(X+Y+Z)2-2(X+Y+Z)+1  0
 Posté par 
larrechre : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 13:24
J'ai peur d'être allé un peu vite...Pas le temps de revérifier pour l'instant.
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 13:53
Bonjour larrech,

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C'est tout bon. D'ailleurs on obtient chacun deux systèmes pour les cas d'égalité :

  Pour moi :  et pour toi : 

Ils sont équivalents 

 Posté par 
alb12re : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 14:09
Pour la question 2 on peut essayer de donner la forme generale des triplets pour lesquels l'egalite a lieu. 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 15:34
Oui alb12.

Je peux arriver à un (des ?) triplet plus ou moins infernal. Ça n'a aucun intérêt.

Vu ton intervention, j'imagine qu'on peut adroitement paramétrer  en sorte que . Je n'y suis pas parvenu. 
 Posté par 
larrechre : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 16:48
Bonjour lake

Merci d'avoir regardé 
 Posté par 
alb12re : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  12-01-23 à 20:38
à un moment dans les calculs on tombe sur sqrt(1-4x) (ou sqrt(1-4y) ou sqrt(1-4z)). 

De là on peut obtenir un parametrage rationnel  des composantes des triplets. 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 11:53
Merci alb12,

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Sauf erreur, voici un triplet avec  et  :

On intervertit les deux premières composantes pour avoir toutes les solutions.

 Posté par 
alb12re : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 12:31
oui c'est ça, à ceci pres que l'ordre n'a pas d'importance. 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 12:37
J'ai mis  et  et il me semble que dans ce cas, l'ordre compte.

 Avec   réel différent de , on doit avoir effectivement toutes les solutions 

En attendant, avec des erreurs à répétition, j'ai mis un "certain temps" à parvenir à ce résultat. Je m'y suis pris probablement comme un pied ... 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 13:42
. . . oublié 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 13:43
Mince! Oubliez ce que j'ai oublié 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 14:20
Je pense qu'alb12 va nous donner une session Xcas carabinée mais en attendant :

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Pour la question 2), il s'agit de résoudre le système :

 En éliminant par exemple  entre les deux équations, on tombe sur l'équation implicite d'une courbe :

que GeoGebra trace sans souci :

A ce stade, j'avais virtuellement abandonné mais alb12 m'a relancé avec son paramétrage rationnel :

Si on considère cette équation comme une équation du second degré en  :

 on tombe sur un discriminant 
J'aurais du y penser : alb12 a écrit :

Citation :
à un moment dans les calculs on tombe sur sqrt(1-4x) (ou sqrt(1-4y) ou sqrt(1-4z)). 

De là on peut obtenir un parametrage rationnel  des composantes des triplets. 

  et la suite ... 

 Posté par 
alb12re : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 18:42
Je confesse que je n'ai pas fait les calculs à la main 

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Je peux me tromper mais il me semble que si le triplet   convient alors les 5 autres obtenus par permutation sont aussi solutions. 

 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  13-01-23 à 19:16
C'est même certain : le système étant "symétrique" en , il n'y a pas de raison de privilégier une variable. C'est la méthode de calcul qui décide 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  14-01-23 à 12:32
Bonjour alb12,

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Citation :
Je peux me tromper mais il me semble que si le triplet   convient alors les 5 autres obtenus par permutation sont aussi solutions. 

C'est aussi confirmé par la courbe dont on parlait plus haut :

Elle est constituée de deux branches.

Si  est sur une branche, le point  de même abscisse sur l'autre branche a pour ordonnée .

 et  sont interchangeables 
 Posté par 
lakere : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  14-01-23 à 22:22
Au risque de paraître un peu lourd :

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Avec  et  non nuls et  la symétrie par rapport à la première bissectrice, cette figure illustre tes 6 triplets :

 Posté par 
dpire : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  16-01-23 à 08:43
Bonjour,

Message subliminal.........

Qui trouvera le message de alb12 (énoncé ) et la réponse de larrech
 Posté par 
larrechre : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  16-01-23 à 16:51
Bonjour,

@dpi

L'intérêt de ton message? Sous-entendre que j'ai triché ?  J'aurais bien un qualificatif, mais il n'aurait rien de subliminal...
 Posté par 
dpire : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  17-01-23 à 09:11
>larrech

Comme je ne participe pas ,j'ai regardé les blanks et ma curiosité

s'est penchée sur les textes en vert.

Il n'y a aucune malveillance de ma part 
 Posté par 
larrechre : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  17-01-23 à 09:39
Ah, OK. Excuses-moi, trop susceptible que je suis...

Oui, un traducteur automatique m'a bien servi, car là, je l'avoue sans honte, ne parlant pas le polonais, j'ai effectivement triché.
 Posté par 
larrechre : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  17-01-23 à 10:00
Excuse-moi..
 Posté par 
dpire : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  17-01-23 à 11:18
  Posté par 
alb12re : minimum (x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2  17-01-23 à 17:03
dziękuję wszystkim miłym współpracownikom